Khinchinská konstanta

Khinchinova konstanta je skutečná konstanta rovna geometrickému průměru prvků expanze na pokračující zlomek některého z téměř všech reálných čísel. $K_{0}\cca 2{,}685452$

Khinchinova konstanta je pojmenována po Alexandru Jakovlevičovi Khinchinovi , který v roce 1935 objevil a dokázal existenci této konstanty a vzorce pro ni [1] . Označení [2] nebo [3] odpovídá prvnímu písmenu přepisu příjmení „Khinchin“ v evropských jazycích. $K_{0}$ $K$

Definice

Pro téměř nějaké reálné číslo mají prvky jeho expanze pokračujícího zlomku konečný geometrický průměr nezávislý na [4] . Tato hodnota se nazývá Khinchinova konstanta. $X$ $a_{i}$ $X$

Jinými slovy, pokud

x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac { 1}{\ddots }}}}}}}}\;

kde je celé číslo a zbytek je přirozený , pak pro téměř všechny $a_{0}$ $a_{i}$ $X$

\lim _{n\rightarrow \infty }\left(a_{1}a_{2}...a_{n}\right)^{1/n}=K_{0}=2{,} 6854520010\ldots

(sekvence A002210 v OEIS ).

V tomto případě lze Khinchinovu konstantu vyjádřit jako nekonečný součin $K_{0}$

K_{0}=\prod _{r=1}^{\infty }{\left(1+{1 \over r(r+2)}\right)}^{\log _{2} r}

Význam

Pokračující zlomkový expanze jakéhokoli reálného čísla je posloupnost přirozených čísel a jakákoli posloupnost přirozených čísel je pokračující zlomková expanze jakéhokoli reálného čísla mezi 0 a 1. Pokud však náhodně vybereme prvky posloupnosti přirozených čísel v jakýmkoli způsobem, pak geometrický průměr prvků, obecně řečeno, nebude nutně stejný pro všechny nebo téměř všechny výsledné sekvence. Existence Khinchinovy konstanty – skutečnost, že geometrický průměr prvků expanze spojitého zlomku se ukazuje být stejný pro téměř všechna reálná čísla – je proto základním tvrzením o reálných číslech a jejich expanzích spojitých zlomků [5] , elegantní a hluboký výsledek [6] , jeden z nejpřekvapivějších faktů v matematice [7] .

Schéma důkazu

Zde je důkaz existence Khinchinovy konstanty a vzorec pro ni, kvůli Cheslavu Ryl-Nardzhevskému [8] , který je jednodušší než důkaz Khinchin, který nepoužil ergodickou teorii [9] .

Protože první prvek rozšíření čísla na pokračující zlomek nehraje v dokazovaném tvrzení žádnou roli a protože Lebesgueova míra racionálních čísel je rovna nule, můžeme se omezit na uvažování iracionálních čísel na segmentu. , tedy sada . Tato čísla mají korespondenci jedna ku jedné s pokračujícími zlomky formuláře . Pojďme si představit Gaussovo zobrazení : $a_{0}$ $X$ $(0,1)$ $I=[0,1]\setminus \mathbb {Q}$ $[0;a_{1},a_{2},a_{3}\ldots ]$ $T\colon I\to I$

T([0;a_{1},a_{2},\ldots ])=[0;a_{2},a_{3},\ldots ]

Pro každou Borelovu podmnožinu množiny také definujeme Gauss-Kuzminovu míru : $E$ $já$

\mu (E)={\frac {1}{\ln 2}}\int _{E}{\frac {dx}{1+x}}

Pak je míra pravděpodobnosti na sigma-algebře Borelových podmnožin . Míra je ekvivalentní s mírou Lebesgue dne , ale má další vlastnost: transformace zachovává míru . Navíc lze ukázat, že jde o ergodickou transformaci měřitelného prostoru vybaveného mírou (to je nejobtížnější bod důkazu). Potom ergodická věta říká, že pro jakoukoli -integrovatelnou funkci na střední hodnotě - totéž pro téměř všechny : $\mu$ $já$ $\mu$ $já$ $T$ $\mu$ $T$ $já$ $\mu$ $\mu$ $F$ $já$ $f\left(T^{k}x\right)$ $X$

\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}(f\circ T^{k})(x) =\int _{I}f\,d\mu

pro téměř všechny v míře [9] .

x\in I

\mu

Výběrem funkce získáme: ${\displaystyle f([0;a_{1},a_{2},\ldots ])=\ln a_{1))$

\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\ln(a_{k})=\int _{I} f\,d\mu =\sum _{r=1}^{\infty }\ln r{\frac {\ln {\bigl (}1+{\frac {1}{r(r+2)} }{\bigr )}}{\ln 2}}

pro téměř všechny . $[0;a_{1},a_{2},\ldots ]$ $já$

Vezmeme- li exponenciálu z obou částí rovnosti, dostaneme vlevo geometrický průměr prvních prvků spojitého zlomku v , a vpravo Khinchinovu konstantu [9] . $n$ $n\to\infty$

Rozšíření řady

Khinchinova konstanta může být reprezentována jako řada [10] :

\ln K_{0}={\frac {1}{\ln 2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)-1}{n} }\součet _{k=1}^{2n-1}{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}

nebo po oddělení termínů série,

\ln K_{0}={\frac {1}{\ln 2}}\left[-\sum _{k=2}^{N}\ln \left({\frac {k-1 }{k}}\right)\ln \left({\frac {k+1}{k}}\right)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n ,N+1)}{n}}\součet _{k=1}^{2n-1}{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}\right]

kde je nějaké pevné celé číslo, je funkce Hurwitz zeta . Obě řady rychle konvergují, protože se rychle blíží nule jako . Můžete také zadat rozšíření dilogaritmu [2] : $N$ $\zeta (s,q)$ $\zeta (n)-1$ $n$

\ln K_{0}=\ln 2+{\frac {1}{\ln 2}}\left[\mathrm {Li} _{2}\left({\frac {-1}{2 }}\right)+{\frac {1}{2}}\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}\mathrm {Li} _{2}\left({ \frac {4}{k^{2}}}\right)\right]

Geometrický průměr prvků expanze kontinuálního zlomku různých čísel

Ačkoli geometrický průměr prvků expanze spojitého zlomku je stejný pro téměř všechna čísla, nebylo to prokázáno pro prakticky žádné konkrétní číslo , s výjimkou těch, které jsou speciálně navrženy pro splnění tohoto tvrzení [3] [11] . Takové číslo lze sestrojit okamžitým nastavením prvků jeho rozšíření na pokračující zlomek, například takto: jakýkoli konečný počet prvků na začátku nebude mít žádný vliv na mezní hodnotu geometrického průměru, takže mohou být brán jakýkoli (například můžete vzít prvních 60 prvků rovných 4) ; každý následující prvek se rovná 2 nebo 3 v závislosti na tom, zda je geometrický průměr všech předchozích prvků větší nebo menší než Khinchinova konstanta. Pro tento konkrétní příklad však Gauss-Kuzminova statistika neplatí . $K_{0}$ $X$

Čísla , o kterých je známo, že geometrický průměr prvků jejich expanze na spojitý zlomek není roven Khinchinově konstantě, zahrnují racionální čísla , kvadratické iracionality (kořeny různých kvadratických rovnic s celočíselnými koeficienty) a základnu přirozeného logaritmu. . Přestože existuje nekonečně mnoho racionálních čísel a kvadratických iracionalit, tvoří množinu míry nula , a proto je není třeba zahrnout do „téměř všech“ čísel z definice Khinchinovy konstanty. $X$ $E$

Zdá se, že geometrický průměr prvků expanze kontinuálního zlomku některých čísel (na základě přímých výpočtů průměrů pro velké ) konverguje ke Khinchinově konstantě, i když v žádném z těchto případů nebyla prokázána rovnost v limitě. Konkrétně tato čísla zahrnují číslo π , Euler-Mascheroniho konstantu , číslo , a samotnou Khinchinovu konstantu. Druhá okolnost naznačuje, že Khinchinova konstanta je iracionální, ale není s jistotou známo, zda je Khinchinova konstanta racionální, algebraické nebo transcendentální číslo [3] . $n$ $\sin 1$ ${\sqrt[ {3}]{2}}$

Střední síla

Khinchinovu konstantu lze považovat za speciální případ průměrného mocninného prvku expanze čísel na spojitý zlomek. Pro libovolnou sekvenci je mocninný průměr $\{a_{n}\}$ $p$

K_{p}=\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{p }\right]^{1/p}

Jsou-li prvky rozšíření čísla na pokračující zlomek, pak pro všechny a téměř všechny jsou dány vzorcem $\{a_{n}\}$ $X$ $K_{p}$ $p<1$ $X$

K_{p}=\left[\sum _{k=1}^{\infty }-k^{p}\log _{2}\left(1-{\frac {1}{(k) +1)^{2}}}\right)\right]^{1/p}

Získává se výpočtem odpovídajícího mocninného průměru pomocí Gauss-Kuzminovy statistiky a odpovídá volbě funkce ve výše uvedeném důkazu [2] [8] . Lze ukázat, že hodnota je získána v limitu . ${\displaystyle f([0;a_{1},a_{2},\ldots ])=a_{1}^{p))$ $K_{0}$ $p\to 0$

Zejména lze získat harmonický průměr prvků expanze kontinuálního zlomku. Toto číslo je

K_{-1}=1{,}74540566240\ldots

(sekvence A087491 v OEIS ).

Poznámky

↑ Khinchin A. Ya. Metrische Kettenbruchprobleme : [ německy. ] // Compositio Mathematica. - 1935. - T. 1. - S. 361-382. MR : 1556899 _
↑ 1 2 3 Bailey, Borwein & Crandall, 1997 .
↑ 1 2 3 Weisstein, konstanta Erica W. Khinchina na webu Wolfram MathWorld .
↑ Khinchin, 1960 , § 16 Průměrné hodnoty, str. 110-111.
↑ McLeman, Cam. Deset nejúžasnějších čísel (nedostupný odkaz) . Získáno 18. ledna 2016. Archivováno z originálu 11. listopadu 2020. (neurčitý)
↑ Alexander Yakovlevich Khinchin (k šedesátým narozeninám) // Uspekhi Mat. - 1955. - T. 10, čís. 3(65). - S. 197-212.
↑ Finch, Steven R. Matematické konstanty . - Cambridge University Press, 2003. - S. 60. - Errata and Addenda . — ISBN 978-0521818056 .
↑ 1 2 Ryll-Nardzewski, Czesław. K ergodickým větám II (Ergodická teorie spojitých zlomků) : [ eng. ] // Studio Mathematica. - 1951. - Sv. 12. - S. 74-79. MR : 13:757b .
↑ 1 2 3 Kac, Marc. Statistická nezávislost v pravděpodobnosti, analýze a teorii čísel. — Matematika. Association of America a John Wiley & Sons, 1959, s. 89-94. — ISBN 978-0883850121 .
↑ Bailey, Borwein & Crandall, 1997 . Tento článek používá mírně odlišnou definici funkce Hurwitz zeta.
↑ Wieting T. A Khinchin Sequence // Proc. z Americké matematické společnosti. - 2008. - Sv. 136, č.p. 3. - S. 815-824. - doi : 10.1090/S0002-9939-07-09202-7 . MR : 2361853 _ Viz sekvence OEIS A089618 .

Literatura

Khinchin A. Ya. Pokračovací zlomky . - M .: Fizmatlit, 1960. - 112 s.
Bailey D. H., Borwein J. M., Crandall R. E. O Khinchinově konstantě // Matematika výpočtu. - 1997. - Sv. 66 , č. 217 . - str. 417-431 . - doi : 10.1090/s0025-5718-97-00800-4 . MR : 1377659 _

Odkazy

1 000 000 desetinných míst Khinchinské konstanty na webových stránkách Matematické fakulty Univerzity v Barceloně