Khinchinská konstanta

Khinchinova konstanta  je skutečná konstanta rovna geometrickému průměru prvků expanze na pokračující zlomek některého z téměř všech reálných čísel.

Khinchinova konstanta je pojmenována po Alexandru Jakovlevičovi Khinchinovi , který v roce 1935 objevil a dokázal existenci této konstanty a vzorce pro ni [1] . Označení [2] nebo [3] odpovídá prvnímu písmenu přepisu příjmení „Khinchin“ v evropských jazycích.

Definice

Pro téměř nějaké reálné číslo mají prvky jeho expanze pokračujícího zlomku konečný geometrický průměr nezávislý na [4] . Tato hodnota se nazývá Khinchinova konstanta.

Jinými slovy, pokud

,

kde je celé číslo a zbytek je přirozený , pak pro téměř všechny

(sekvence A002210 v OEIS ).

V tomto případě lze Khinchinovu konstantu vyjádřit jako nekonečný součin

.

Význam

Pokračující zlomkový expanze jakéhokoli reálného čísla je posloupnost přirozených čísel a jakákoli posloupnost přirozených čísel je pokračující zlomková expanze jakéhokoli reálného čísla mezi 0 a 1. Pokud však náhodně vybereme prvky posloupnosti přirozených čísel v jakýmkoli způsobem, pak geometrický průměr prvků, obecně řečeno, nebude nutně stejný pro všechny nebo téměř všechny výsledné sekvence. Existence Khinchinovy ​​konstanty – skutečnost, že geometrický průměr prvků expanze spojitého zlomku se ukazuje být stejný pro téměř všechna reálná čísla – je proto základním tvrzením o reálných číslech a jejich expanzích spojitých zlomků [5] , elegantní a hluboký výsledek [6] , jeden z nejpřekvapivějších faktů v matematice [7] .

Schéma důkazu

Zde je důkaz existence Khinchinovy ​​konstanty a vzorec pro ni, kvůli Cheslavu Ryl-Nardzhevskému [8] , který je jednodušší než důkaz Khinchin, který nepoužil ergodickou teorii [9] .

Protože první prvek rozšíření čísla na pokračující zlomek nehraje v dokazovaném tvrzení žádnou roli a protože Lebesgueova míra racionálních čísel je rovna nule, můžeme se omezit na uvažování iracionálních čísel na segmentu. , tedy sada . Tato čísla mají korespondenci jedna ku jedné s pokračujícími zlomky formuláře . Pojďme si představit Gaussovo zobrazení :

.

Pro každou Borelovu podmnožinu množiny také definujeme Gauss-Kuzminovu míru :

.

Pak  je míra pravděpodobnosti na sigma-algebře Borelových podmnožin . Míra je ekvivalentní s mírou Lebesgue dne , ale má další vlastnost: transformace zachovává míru . Navíc lze ukázat, že  jde o ergodickou transformaci měřitelného prostoru vybaveného mírou (to je nejobtížnější bod důkazu). Potom ergodická věta říká, že pro jakoukoli -integrovatelnou funkci na střední hodnotě  - totéž pro téměř všechny :

pro téměř všechny v míře [9] .

Výběrem funkce získáme:

pro téměř všechny .

Vezmeme- li exponenciálu z obou částí rovnosti, dostaneme vlevo geometrický průměr prvních prvků spojitého zlomku v , a vpravo Khinchinovu konstantu [9] .

Rozšíření řady

Khinchinova konstanta může být reprezentována jako řada [10] :

,

nebo po oddělení termínů série,

,

kde  je nějaké pevné celé číslo,  je funkce Hurwitz zeta . Obě řady rychle konvergují, protože se rychle blíží nule jako . Můžete také zadat rozšíření dilogaritmu [2] :

.

Geometrický průměr prvků expanze kontinuálního zlomku různých čísel

Ačkoli geometrický průměr prvků expanze spojitého zlomku je stejný pro téměř všechna čísla, nebylo to prokázáno pro prakticky žádné konkrétní číslo , s výjimkou těch, které jsou speciálně navrženy pro splnění tohoto tvrzení [3] [11] . Takové číslo lze sestrojit okamžitým nastavením prvků jeho rozšíření na pokračující zlomek, například takto: jakýkoli konečný počet prvků na začátku nebude mít žádný vliv na mezní hodnotu geometrického průměru, takže mohou být brán jakýkoli (například můžete vzít prvních 60 prvků rovných 4) ; každý následující prvek se rovná 2 nebo 3 v závislosti na tom, zda je geometrický průměr všech předchozích prvků větší nebo menší než Khinchinova konstanta. Pro tento konkrétní příklad však Gauss-Kuzminova statistika neplatí .

Čísla , o kterých je známo, že geometrický průměr prvků jejich expanze na spojitý zlomek není roven Khinchinově konstantě, zahrnují racionální čísla , kvadratické iracionality (kořeny různých kvadratických rovnic s celočíselnými koeficienty) a základnu přirozeného logaritmu. . Přestože existuje nekonečně mnoho racionálních čísel a kvadratických iracionalit, tvoří množinu míry nula , a proto je není třeba zahrnout do „téměř všech“ čísel z definice Khinchinovy ​​konstanty.

Zdá se, že geometrický průměr prvků expanze kontinuálního zlomku některých čísel (na základě přímých výpočtů průměrů pro velké ) konverguje ke Khinchinově konstantě, i když v žádném z těchto případů nebyla prokázána rovnost v limitě. Konkrétně tato čísla zahrnují číslo π , Euler-Mascheroniho konstantu , číslo , a samotnou Khinchinovu konstantu. Druhá okolnost naznačuje, že Khinchinova konstanta je iracionální, ale není s jistotou známo, zda je Khinchinova konstanta racionální, algebraické nebo transcendentální číslo [3] .

Střední síla

Khinchinovu konstantu lze považovat za speciální případ průměrného mocninného prvku expanze čísel na spojitý zlomek. Pro libovolnou sekvenci je mocninný průměr

.

Jsou-li  prvky rozšíření čísla na pokračující zlomek, pak pro všechny a téměř všechny jsou dány vzorcem

.

Získává se výpočtem odpovídajícího mocninného průměru pomocí Gauss-Kuzminovy ​​statistiky a odpovídá volbě funkce ve výše uvedeném důkazu [2] [8] . Lze ukázat, že hodnota je získána v limitu .

Zejména lze získat harmonický průměr prvků expanze kontinuálního zlomku. Toto číslo je

(sekvence A087491 v OEIS ).

Poznámky

  1. Khinchin A. Ya. Metrische Kettenbruchprobleme  : [ německy. ] // Compositio Mathematica. - 1935. - T. 1. - S. 361-382. MR : 1556899 _
  2. 1 2 3 Bailey, Borwein & Crandall, 1997 .
  3. 1 2 3 Weisstein, konstanta Erica W. Khinchina  na webu Wolfram MathWorld .
  4. Khinchin, 1960 , § 16 Průměrné hodnoty, str. 110-111.
  5. McLeman, Cam. Deset nejúžasnějších čísel (nedostupný odkaz) . Získáno 18. ledna 2016. Archivováno z originálu 11. listopadu 2020. 
  6. Alexander Yakovlevich Khinchin (k šedesátým narozeninám) // Uspekhi Mat. - 1955. - T. 10, čís. 3(65). - S. 197-212.
  7. Finch, Steven R. Matematické konstanty . - Cambridge University Press, 2003. - S. 60. - Errata and Addenda . — ISBN 978-0521818056 .
  8. 1 2 Ryll-Nardzewski, Czesław. K ergodickým větám II (Ergodická teorie spojitých zlomků)  : [ eng. ] // Studio Mathematica. - 1951. - Sv. 12. - S. 74-79. MR : 13:757b .
  9. 1 2 3 Kac, Marc. Statistická nezávislost v pravděpodobnosti, analýze a teorii čísel. — Matematika. Association of America a John Wiley & Sons, 1959, s. 89-94. — ISBN 978-0883850121 .
  10. Bailey, Borwein & Crandall, 1997 . Tento článek používá mírně odlišnou definici funkce Hurwitz zeta.
  11. Wieting T. A Khinchin Sequence // Proc. z Americké matematické společnosti. - 2008. - Sv. 136, č.p. 3. - S. 815-824. - doi : 10.1090/S0002-9939-07-09202-7 . MR : 2361853 _ Viz sekvence OEIS A089618 .

Literatura

Odkazy