Khinchinova konstanta je skutečná konstanta rovna geometrickému průměru prvků expanze na pokračující zlomek některého z téměř všech reálných čísel.
Khinchinova konstanta je pojmenována po Alexandru Jakovlevičovi Khinchinovi , který v roce 1935 objevil a dokázal existenci této konstanty a vzorce pro ni [1] . Označení [2] nebo [3] odpovídá prvnímu písmenu přepisu příjmení „Khinchin“ v evropských jazycích.
Pro téměř nějaké reálné číslo mají prvky jeho expanze pokračujícího zlomku konečný geometrický průměr nezávislý na [4] . Tato hodnota se nazývá Khinchinova konstanta.
Jinými slovy, pokud
,kde je celé číslo a zbytek je přirozený , pak pro téměř všechny
(sekvence A002210 v OEIS ).V tomto případě lze Khinchinovu konstantu vyjádřit jako nekonečný součin
.Pokračující zlomkový expanze jakéhokoli reálného čísla je posloupnost přirozených čísel a jakákoli posloupnost přirozených čísel je pokračující zlomková expanze jakéhokoli reálného čísla mezi 0 a 1. Pokud však náhodně vybereme prvky posloupnosti přirozených čísel v jakýmkoli způsobem, pak geometrický průměr prvků, obecně řečeno, nebude nutně stejný pro všechny nebo téměř všechny výsledné sekvence. Existence Khinchinovy konstanty – skutečnost, že geometrický průměr prvků expanze spojitého zlomku se ukazuje být stejný pro téměř všechna reálná čísla – je proto základním tvrzením o reálných číslech a jejich expanzích spojitých zlomků [5] , elegantní a hluboký výsledek [6] , jeden z nejpřekvapivějších faktů v matematice [7] .
Zde je důkaz existence Khinchinovy konstanty a vzorec pro ni, kvůli Cheslavu Ryl-Nardzhevskému [8] , který je jednodušší než důkaz Khinchin, který nepoužil ergodickou teorii [9] .
Protože první prvek rozšíření čísla na pokračující zlomek nehraje v dokazovaném tvrzení žádnou roli a protože Lebesgueova míra racionálních čísel je rovna nule, můžeme se omezit na uvažování iracionálních čísel na segmentu. , tedy sada . Tato čísla mají korespondenci jedna ku jedné s pokračujícími zlomky formuláře . Pojďme si představit Gaussovo zobrazení :
.Pro každou Borelovu podmnožinu množiny také definujeme Gauss-Kuzminovu míru :
.Pak je míra pravděpodobnosti na sigma-algebře Borelových podmnožin . Míra je ekvivalentní s mírou Lebesgue dne , ale má další vlastnost: transformace zachovává míru . Navíc lze ukázat, že jde o ergodickou transformaci měřitelného prostoru vybaveného mírou (to je nejobtížnější bod důkazu). Potom ergodická věta říká, že pro jakoukoli -integrovatelnou funkci na střední hodnotě - totéž pro téměř všechny :
pro téměř všechny v míře [9] .Výběrem funkce získáme:
pro téměř všechny .
Vezmeme- li exponenciálu z obou částí rovnosti, dostaneme vlevo geometrický průměr prvních prvků spojitého zlomku v , a vpravo Khinchinovu konstantu [9] .
Khinchinova konstanta může být reprezentována jako řada [10] :
,nebo po oddělení termínů série,
,kde je nějaké pevné celé číslo, je funkce Hurwitz zeta . Obě řady rychle konvergují, protože se rychle blíží nule jako . Můžete také zadat rozšíření dilogaritmu [2] :
.Ačkoli geometrický průměr prvků expanze spojitého zlomku je stejný pro téměř všechna čísla, nebylo to prokázáno pro prakticky žádné konkrétní číslo , s výjimkou těch, které jsou speciálně navrženy pro splnění tohoto tvrzení [3] [11] . Takové číslo lze sestrojit okamžitým nastavením prvků jeho rozšíření na pokračující zlomek, například takto: jakýkoli konečný počet prvků na začátku nebude mít žádný vliv na mezní hodnotu geometrického průměru, takže mohou být brán jakýkoli (například můžete vzít prvních 60 prvků rovných 4) ; každý následující prvek se rovná 2 nebo 3 v závislosti na tom, zda je geometrický průměr všech předchozích prvků větší nebo menší než Khinchinova konstanta. Pro tento konkrétní příklad však Gauss-Kuzminova statistika neplatí .
Čísla , o kterých je známo, že geometrický průměr prvků jejich expanze na spojitý zlomek není roven Khinchinově konstantě, zahrnují racionální čísla , kvadratické iracionality (kořeny různých kvadratických rovnic s celočíselnými koeficienty) a základnu přirozeného logaritmu. . Přestože existuje nekonečně mnoho racionálních čísel a kvadratických iracionalit, tvoří množinu míry nula , a proto je není třeba zahrnout do „téměř všech“ čísel z definice Khinchinovy konstanty.
Zdá se, že geometrický průměr prvků expanze kontinuálního zlomku některých čísel (na základě přímých výpočtů průměrů pro velké ) konverguje ke Khinchinově konstantě, i když v žádném z těchto případů nebyla prokázána rovnost v limitě. Konkrétně tato čísla zahrnují číslo π , Euler-Mascheroniho konstantu , číslo , a samotnou Khinchinovu konstantu. Druhá okolnost naznačuje, že Khinchinova konstanta je iracionální, ale není s jistotou známo, zda je Khinchinova konstanta racionální, algebraické nebo transcendentální číslo [3] .
Khinchinovu konstantu lze považovat za speciální případ průměrného mocninného prvku expanze čísel na spojitý zlomek. Pro libovolnou sekvenci je mocninný průměr
.Jsou-li prvky rozšíření čísla na pokračující zlomek, pak pro všechny a téměř všechny jsou dány vzorcem
.Získává se výpočtem odpovídajícího mocninného průměru pomocí Gauss-Kuzminovy statistiky a odpovídá volbě funkce ve výše uvedeném důkazu [2] [8] . Lze ukázat, že hodnota je získána v limitu .
Zejména lze získat harmonický průměr prvků expanze kontinuálního zlomku. Toto číslo je
(sekvence A087491 v OEIS ).