Střední zakřivení proudění
Tok středního zakřivení je určitý proces deformace hyperpovrchů v Riemannově manifoldu , zejména pro povrchy v 3-rozměrném euklidovském prostoru .
Proudění deformuje povrch v normálním směru rychlostí rovnou jeho průměrnému zakřivení. Například koule pod vlivem proudění je stlačena do bodu.
Rovnice
Jednoparametrová rodina ploch je tok střední křivosti if
![{\displaystyle f_{t}\colon S\hookrightarrow M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32eeafa64782244f7546b13a745e77741050e5d1)
kde a označují střední zakřivení a jednotku kolmou k povrchu v bodě .
![{\displaystyle H_{t}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b20025174ec02c662cda7b4989ac7c033c1ce1b9)
![n(x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efcfb5557cd6fe3915d9e31b11e731e8feace024)
![{\displaystyle f_{t}(S)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da3397db73e1f8d12c685128c80493af0a87726c)
![{\displaystyle f_{t}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32aa39e7bb3e461604c2362fdc88fcad9f20f4af)
Vlastnosti
- Rovnice toku je parabolická parciální diferenciální rovnice .
- Zejména to zaručuje existenci řešení pro malé hodnoty parametru času.
- Minimální plochy jsou kritickými body pro tok průměrného zakřivení.
- Obvykle tok průměrného zakřivení tvoří singularitu v konečném čase, od kterého tok přestává být definován.
- Huiskenův vzorec monotonie
- Při působení proudění zůstává uzavřená konvexní hyperplocha v euklidovském prostoru konvexní. Navíc se zhroutí do určitého bodu v konečném čase a bezprostředně do tohoto bodu se povrch přiblíží ke standardní kouli až do změny měřítka.
- V obecném Riemannově manifoldu není konvexnost hyperplochy v toku zachována, i když se navíc požaduje, aby zakřivení průřezu bylo kladné .
Viz také
- Zkracovací tok je speciální případ středního zakřiveného toku pro křivky v rovině.
- Ricciho proudění je úzce související konstrukce pro deformaci Riemannových manifoldů.
Aplikace
- Flow poskytuje přirozené vyhlazování hyperpovrchů. Konkrétně poskytuje analytickou aproximaci daného -hladkého hyperpovrchu.
![C^{2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fd6a5946b7e916352b0afc557f992328bac85e8)
Literatura
- Ecker, Klaus (2004), Regularity Theory for Mean Curvature Flow , sv. 57, Progress in Nonlinear Differential Equations and their Applications, Boston, MA: Birkhäuser, ISBN 0-8176-3243-3 , DOI 10.1007/978-0-8176-8210-1 .
- Mantegazza, Carlo (2011), Lecture Notes on Mean Curvature Flow , sv. 290, Pokrok v matematice, Basilej: Birkhäuser/Springer, ISBN 978-3-0348-0144-7 , DOI 10.1007/978-3-0348-0145-4 .
- Lu, Conglin; Cao, Yan & Mumford, Davidd (2002), Surface evolution under curvature flows , Journal of Visual Communication and Image Representation vol. 13 (1-2): 65–81 , DOI 10.1006/jvci.2001.0476 . Viz zejména rovnice 3a a 3b.