Střední zakřivení proudění

Tok středního zakřivení je určitý proces deformace hyperpovrchů v Riemannově manifoldu , zejména pro povrchy v 3-rozměrném euklidovském prostoru .

Proudění deformuje povrch v normálním směru rychlostí rovnou jeho průměrnému zakřivení. Například koule pod vlivem proudění je stlačena do bodu.

Rovnice

Jednoparametrová rodina ploch je tok střední křivosti if $f_{t}\colon S\hookrightarrow M$

{\frac {\částečné f_{t}(x)}{\částečné t))=H_{t}(x)\cdot n(x),

kde a označují střední zakřivení a jednotku kolmou k povrchu v bodě . $H_{t}(x)$ $n(x)$ $f_{t}(S)$ $f_{t}(x)$

Rovnice toku je parabolická parciální diferenciální rovnice .
- Zejména to zaručuje existenci řešení pro malé hodnoty parametru času.
Minimální plochy jsou kritickými body pro tok průměrného zakřivení.
Obvykle tok průměrného zakřivení tvoří singularitu v konečném čase, od kterého tok přestává být definován.
Huiskenův vzorec monotonie
Při působení proudění zůstává uzavřená konvexní hyperplocha v euklidovském prostoru konvexní. Navíc se zhroutí do určitého bodu v konečném čase a bezprostředně do tohoto bodu se povrch přiblíží ke standardní kouli až do změny měřítka.
- V obecném Riemannově manifoldu není konvexnost hyperplochy v toku zachována, i když se navíc požaduje, aby zakřivení průřezu bylo kladné .

Zkracovací tok je speciální případ středního zakřiveného toku pro křivky v rovině.
Ricciho proudění je úzce související konstrukce pro deformaci Riemannových manifoldů.

Flow poskytuje přirozené vyhlazování hyperpovrchů. Konkrétně poskytuje analytickou aproximaci daného -hladkého hyperpovrchu. $C^{2}$

Ecker, Klaus (2004), Regularity Theory for Mean Curvature Flow , sv. 57, Progress in Nonlinear Differential Equations and their Applications, Boston, MA: Birkhäuser, ISBN 0-8176-3243-3 , DOI 10.1007/978-0-8176-8210-1 .
Mantegazza, Carlo (2011), Lecture Notes on Mean Curvature Flow , sv. 290, Pokrok v matematice, Basilej: Birkhäuser/Springer, ISBN 978-3-0348-0144-7 , DOI 10.1007/978-3-0348-0145-4 .
Lu, Conglin; Cao, Yan & Mumford, Davidd (2002), Surface evolution under curvature flows , Journal of Visual Communication and Image Representation vol. 13 (1-2): 65–81 , DOI 10.1006/jvci.2001.0476 . Viz zejména rovnice 3a a 3b.