Box-Mullerova transformace

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 11. ledna 2018; kontroly vyžadují 3 úpravy .

Box-Mullerova transformace je metoda pro modelování standardních normálně rozdělených náhodných veličin . Má dvě možnosti. Metoda je exaktní, na rozdíl např. od metod založených na centrální limitní větě .

Metodu publikovali v roce 1958 George Box a Mervyn Muller.

První možnost

Dovolit a být nezávislé náhodné proměnné rovnoměrně rozložené přes interval . Počítat a vzorce $r$ $\varphi\$ $(0,\;1]$ $z_{0}$ $z_{1}$

z_{0}=\cos(2\pi \varphi ){\sqrt {-2\ln r)),

z_{1}=\sin(2\pi \varphi ){\sqrt {-2\ln r}}.

Potom a budou nezávislé a normálně rozdělené s matematickým očekáváním 0 a rozptylem 1. Při implementaci na počítači je obvykle rychlejší nevypočítat obě goniometrické funkce – a –, ale vypočítat jednu z nich prostřednictvím druhé [důkaz?]. Ještě lepší je místo toho použít druhou verzi Box-Mullerovy transformace. $z_{0}$ $z_{1}$ $\cos(\cdot)$ $\sin(\cdot )$

Druhá možnost

Nechť a být nezávislé náhodné veličiny rovnoměrně rozložené na intervalu . Pojďme počítat . Pokud se ukáže, že nebo , pak by měly být hodnoty a „vyhozeny“ a regenerovány. Jakmile je podmínka splněna , podle vzorců $X$ $y$ $[-1,\;1]$ ${s=x^{2}+y^{2}}$ ${s>1}$ ${s=0}$ $X$ $y$ ${0<s\leqslant 1}$

z_{0}=x\cdot {\sqrt {-2\ln s \over s))

z_{1}=y\cdot {\sqrt {-2\ln s \over s))

měli bychom vypočítat a , což, stejně jako v prvním případě, budou nezávislé veličiny splňující standardní normální rozdělení. $z_{0}$ $z_{1}$

Koeficient použití základních náhodných veličin pro první variantu je evidentně roven jedné. U druhé možnosti je to poměr plochy kruhu o poloměru jednotky k ploše čtverce se stranou dvě, to je . V praxi je však druhá varianta obvykle rychlejší díky tomu, že využívá pouze jednu transcendentální funkci , . Tato výhoda u většiny implementací převažuje nad potřebou generovat rovnoměrněji rozložené náhodné proměnné. $\pi /4\cca 0{,}785$ $\ln(\cdot)$

Přechod k obecnému normálnímu rozdělení

Po získání standardní normální náhodné veličiny lze snadno přejít na normálně rozdělenou náhodnou veličinu s matematickým očekáváním a směrodatnou odchylkou pomocí vzorce $z$ $\xi \sim N(\mu ,\sigma ^{2})$ $\mu$ $\sigma$

\xi =\mu +\sigma z.

Toto již není součástí Box-Mullerovy transformace, ale umožňuje dokončit generování normální náhodné proměnné.

Viz také

Zikkuratový algoritmus

Odkazy

Transformace rovnoměrně rozložené náhodné proměnné na normálně rozloženou Archivováno 26. srpna 2014 na Wayback Machine