Plynulé rovnoměrné rozdělení

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 12. října 2020; kontroly vyžadují 5 úprav .

Plynulé rovnoměrné rozdělení
Hustota pravděpodobnosti
distribuční funkce
Označení	${\mathcal {U}} (a,b)$
Možnosti	$a,b\in (-\infty ,\infty )$ , — faktor posunu , — faktor měřítka $A$ $ba$
Dopravce	$a\leqslant x\leqslant b$
Hustota pravděpodobnosti	${\begin{matrix}{\dfrac {1}{ba}}&a\leqslant x\leqslant b\\\\0&\ x<a\ ,\ x>b\end{matrix}}$
distribuční funkce	${\begin{matrix}0&x<a\\{\dfrac {xa}{ba))&~~~~~a\leqslant x<b\\1&x\geqslant b\end{matrix))$
Očekávaná hodnota	${\frac {a+b}{2}}$
Medián	${\frac {a+b}{2}}$
Móda	libovolné číslo ze segmentu $[a,b]$
Disperze	${\frac {(ba)^{2}}{12}}$
Koeficient asymetrie	$0$
Kurtózní koeficient	$-{\frac {6}{5}}$
Diferenciální entropie	$\ln(ba)$
Generující funkce momentů	${\frac {e^{{tb}}-e^{{ta}}}{t(ba)))$
charakteristická funkce	${\frac {e^{{itb}}-e^{{ita}}}{it(ba)))$

Spojité rovnoměrné rozdělení v teorii pravděpodobnosti je rozdělení náhodné reálné proměnné, která nabývá hodnot patřících do určitého intervalu konečné délky, vyznačující se tím, že hustota pravděpodobnosti na tomto intervalu je téměř všude konstantní.

Definice

Říká se, že náhodná veličina má spojité rovnoměrné rozdělení na segmentu , kde , pokud má její hustota tvar: $[a,b]$ $a,b\in \mathbb{R}$ $f_{X} (x)$

f_{X}(x)=\left\{{\begin{matrix}{\dfrac {1}{ba)),&x\v [a,b]\\0,&x\ne \in [ a,b]\end{matrix}}\vpravo..

Napište: . Někdy jsou hodnoty hustoty na hraničních bodech změněny na jiné, například nebo . Protože Lebesgueův integrál hustoty nezávisí na chování hustoty na množinách nulové míry , tyto variace neovlivňují výpočty souvisejících rozdělení pravděpodobnosti. $X\simU[a,b]$ $x=a$ $x=b$ $0$ ${\frac {1}{2(ba)))$

Distribuční funkce

Integrací výše definované hustoty dostaneme:

F_{X}(x)\equiv \mathbb {P} (X\leqslant x)=\left\{{\begin{matrix}0,&x<a\\{\dfrac {xa}{ba} },&a\leqslant x<b\\1,&x\geqslant b\end{matrix}}\right..

Protože hustota rovnoměrného rozdělení je v hraničních bodech segmentu nespojitá , distribuční funkce v těchto bodech není diferencovatelná. V jiných bodech platí standardní rovnost: $[a,b]$

{\frac {d}{dx}}F_{X}(x)=f_{X}(x),\;\forall x\in \mathbb{R} \setminus \{a,b\}

Generující funkce momentů

Jednoduchou integrací získáme generující funkci momentů :

M_{X}(t)={\frac {e^{{tb}}-e^{{ta}}}{t(ba))))

odkud najdeme všechny zajímavé momenty spojitého rovnoměrného rozdělení:

{\mathbb {E}}\left[X\right]={\frac {a+b}{2}}

{\mathbb {E}}\left[X^{2}\right]={\frac {a^{2}+ab+b^{2}}{3}}

\operatorname {D} \left[X\right]={\frac {(ba)^{2}}{12}}

Obvykle,

{\mathbb {E}}\left[X^{n}\right]={\frac {1}{n+1}}\sum \limits _{{k=0}}^{n}{a^ {k}b^{{nk))}={\frac {b^{{n+1}}-a^{{n+1}}}{(ba)(n+1)}}

Standardní rovnoměrné rozdělení

Jestliže a , to znamená , pak se takové spojité rovnoměrné rozdělení nazývá standardní . $a=0$ $b=1$ $X\simU[0,1]$

Existuje základní prohlášení:

Pokud náhodná proměnná a , pak .

X\simU[0,1]

Y=a+(ba)X

Y\sim U[\min(a,b),\max(a,b)]

Tudíž, daný generátor náhodných vzorků ze standardní spojité rovnoměrné distribuce, je snadné zkonstruovat generátor vzorků pro jakékoli spojité rovnoměrné rozdělení.

Navíc, máme-li takový generátor a známe funkci inverzní k distribuční funkci náhodné veličiny, je možné zkonstruovat generátor vzorků libovolného spojitého rozdělení (ne nutně rovnoměrného) pomocí metody inverzní transformace . Proto se standardní rovnoměrně rozložené náhodné proměnné někdy nazývají základní náhodné proměnné .

Existují také dílčí transformace, které umožňují získat náhodná rozdělení jiného typu na základě rovnoměrného rozdělení. Takže například pro získání normálního rozdělení se použije Box-Mullerova transformace .

Viz také

Rozdělení pravděpodobnosti
Oddělený	Bernoulli Binomický Geometrický hypergeometrické Logaritmické Negativní binom jed Diskrétní uniforma Multinomický
Absolutně kontinuální	Beta Weibulla gama- hyperexponenciální Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormální normální (gaussovský) Logistické Nakagami Pareto Pearson polokruhový kontinuální uniforma Rýže Rayleigh Student Tracey - Vidoma Rybář Chí-kvadrát Exponenciální Rozptyl-gama Vícerozměrný normální spona