Metoda inverzní konverze

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 17. dubna 2019; kontroly vyžadují 4 úpravy .

Metoda inverzní transformace ( transformace N. V. Smirnova ) je metoda generování náhodných veličin s danou distribuční funkcí úpravou činnosti generátoru rovnoměrně rozložených čísel.

Popis algoritmu

Dovolit být libovolná distribuční funkce . Ukažme si, jak s generátorem vzorků ze standardního spojitého rovnoměrného rozdělení získat vzorek z rozdělení daného distribuční funkcí . $F(x)$ $F(x)$

Striktně rostoucí distribuční funkce

Jestliže funkce je přísně rostoucí přes celou doménu definice , pak to je bijective , a proto má inverzní funkci . $F:\mathbb {R} \to [0,1]$ $F^{-1}:[0,1]\to \mathbb {R}$

Nechť je vzorek ze standardního spojitého rovnoměrného rozdělení. $U_{1},\ldots ,U_{n}\sim U[0,1]$
Potom , kde , je ukázka z distribuce, která nás zajímá. $X_{1},\ldots ,X_{n}$ $X_{i}=F^{-1}(U_{i}),\;i=1,\ldots ,n$

Příklad

Nechť je požadováno vygenerování vzorku z exponenciálního rozdělení s parametrem . Funkce tohoto rozdělení je přísně rostoucí a jeho inverzní funkce má tvar . Pokud je tedy vzorek ze standardního spojitého rovnoměrného rozdělení, pak , kde $\lambda>0$ ${\displaystyle F(x)=1-e^{-\lambda x))$ $F^{-1}(x)=-{\frac {1}{\lambda }}\,\ln(1-x)$ $U_{1},\ldots ,U_{n}$ $X_{1},\ldots ,X_{n}$

X_{i}=-{\frac {1}{\lambda }}\ln(1-U_{i}),\;i=1,\ldots ,n

je požadovaný vzorek z exponenciálního rozdělení.

Neklesající distribuční funkce

Pokud funkce prostě neklesá, pak její inverzní funkce nemusí existovat. V tomto případě je nutné upravit výše uvedený algoritmus . $F:\mathbb {R} \to [0,1]$

Nechť je vzorek ze standardního spojitého rovnoměrného rozdělení. $U_{1},\ldots ,U_{n}\sim U[0,1]$
Potom , kde , je ukázka z distribuce, která nás zajímá. Skutečnost, že přesná dolní mez je rovna minimu, je splněna díky spojitosti distribuční funkce vpravo, což znamená, že je dosaženo přesné dolní meze. $X_{1},\ldots ,X_{n}$ $X_{i}=\inf\{x\mid F(x)=U_{i}\}=\min\{x\mid F(x)=U_{i}\},\;i= 1,\ldots ,n$

Poznámky

Pokud se přísně zvyšuje, pak . Upravený algoritmus pro libovolnou distribuční funkci tedy zahrnuje samostatně analyzovaný případ přísně rostoucí distribuční funkce. $F(x)$ ${\displaystyle F^{-1}(u)=\inf\{x\mid F(x)=u\))$
Přes zdánlivou univerzálnost má tento algoritmus vážná praktická omezení. I když je distribuční funkce striktně rostoucí, není vždy snadné vypočítat její inverzní hodnotu, zvláště pokud není dána jako elementární funkce , jako například v případě normálního rozdělení . V případě obecné distribuční funkce je nejčastěji nutné najít přesnou dolní mez numericky , což může být velmi časově náročné.

Matematické zdůvodnění

Nech , to je . Uvažujme distribuční funkci náhodné veličiny . $U\sim U[0,1]$ $F_{U}(u)=u,\;u\in [0,1]$ $X=\inf\{x\mid F(x)=U\}$

\mathbb {P} (X\leq x)=\mathbb {P} (\inf\{x'\mid F(x')=U\}\leq x)=\mathbb {P} (U \leq F(x))=F_{U}(F(x))=F(x)

To znamená, že má distribuční funkci . $X$ $F(x)$

Viz také

Literatura

Vadzinsky R.N. Příručka rozdělení pravděpodobnosti. - Petrohrad: Nauka, 2001, 295 s.