Princip maximálního modulu
Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od
verze recenzované 12. března 2021; ověření vyžaduje
1 úpravu .
Formulace
Jestliže je v nějaké oblasti holomorfní a existuje takový bod , že nerovnost platí v celé oblasti , pak .
![G\subset {\mathbb C}^{n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98e47291da2ce8a8723f888bd427686c4528468a)
![z_{0}\v G](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/111fb46c78f3a99009853a51d956f558a3705191)
![G](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b)
![|f(z_{0})|\geqslant |f(z)|](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc9cd6c33f5137c5a5cbc64f1a3b7148f294acca)
![f(z)\equiv {\mathrm {const))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/782612d06200c13bcca5b0267845d394c224d0c7)
Jinými slovy, modul analytické funkce jiné než konstanta nemůže mít lokální maxima uvnitř oblasti .
![G](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b)
Důsledky
- Princip minimálního modulu. Jestliže je analytický v nějaké doméně , nezmizí tam a existuje bod takový, že nerovnost platí v celé doméně , pak . (To znamená, že lokální minima modulu analytické funkce jiné než konstanty lze dosáhnout pouze v těch bodech, kde zmizí.)
![{\displaystyle G\subset \mathbb {C} ^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98e47291da2ce8a8723f888bd427686c4528468a)
![z_{0}\v G](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/111fb46c78f3a99009853a51d956f558a3705191)
![G](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b)
![|f(z_{0})|\leqslant |f(z)|](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5480f5f378c3a6ec78a5199401d3f94041e9a934)
![f(z)\equiv {\mathrm {const))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/782612d06200c13bcca5b0267845d394c224d0c7)
- Princip maxima reálných a imaginárních částí. Pokud je pro analytickou funkci v bodě dosaženo lokálního maxima (minima) v její reálné (nebo imaginární) části, pak je funkce konstanta.
![f(z)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8dd568d570b390c337c0a911f0a1c5c214e8240)
![z_{0}\v G](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/111fb46c78f3a99009853a51d956f558a3705191)
![f(z)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8dd568d570b390c337c0a911f0a1c5c214e8240)
(Zde používáme obvyklý princip maximálního modulu pro funkce a , stejně jako rovnost .)
![e^{{f(z)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4874788ae9d20d78e025ec7ff5e2dad42ceaa3e)
![e^{{if(z)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05597593d6c59504c3d7931602c252916300a5b3)
![\left|e^{{f(z)}}\right|=e^{({\mathrm {Re}}\,f(z)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0fd5809bcff6ab68c253033ee40a18f98d5d6b1)
- Dovolit být kompaktní podmnožina . Pro jakoukoli funkci spojitou a analytickou uvnitř platí rovnost:
![K\subset {\mathbb C}^{n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e384792633256704a3d2c8bbe259d25aa78446d)
![F](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)
![K](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0)
![K](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0)
Konverguje -li posloupnost takových funkcí stejnoměrně na hranici kompaktu , konverguje stejnoměrně i na celku .
![K](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0)
![K](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0)