Princip maximálního modulu

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 12. března 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Formulace

Jestliže je v nějaké oblasti holomorfní a existuje takový bod , že nerovnost platí v celé oblasti , pak . $F$ $G\subset {\mathbb C}^{n}$ $z_{0}\v G$ $G$ $|f(z_{0})|\geqslant |f(z)|$ $f(z)\equiv {\mathrm {const))$

Jinými slovy, modul analytické funkce jiné než konstanta nemůže mít lokální maxima uvnitř oblasti . $G$

Důsledky

Princip minimálního modulu. Jestliže je analytický v nějaké doméně , nezmizí tam a existuje bod takový, že nerovnost platí v celé doméně , pak . (To znamená, že lokální minima modulu analytické funkce jiné než konstanty lze dosáhnout pouze v těch bodech, kde zmizí.) $F$ $G\subset \mathbb {C} ^{n}$ $z_{0}\v G$ $G$ $|f(z_{0})|\leqslant |f(z)|$ $f(z)\equiv {\mathrm {const))$
Princip maxima reálných a imaginárních částí. Pokud je pro analytickou funkci v bodě dosaženo lokálního maxima (minima) v její reálné (nebo imaginární) části, pak je funkce konstanta. $f(z)$ $z_{0}\v G$ $f(z)$

(Zde používáme obvyklý princip maximálního modulu pro funkce a , stejně jako rovnost .) $e^{{f(z)}}$ $e^{{if(z)}}$ $\left|e^{{f(z)}}\right|=e^{({\mathrm {Re}}\,f(z)}}$

Dovolit být kompaktní podmnožina . Pro jakoukoli funkci spojitou a analytickou uvnitř platí rovnost: $K\subset {\mathbb C}^{n}$ $F$ $K$ $K$

\|f\|_{K}=\|f\|_{{\částečné K}}.

Konverguje -li posloupnost takových funkcí stejnoměrně na hranici kompaktu , konverguje stejnoměrně i na celku . $K$ $K$