Projektivní modul

Projektivní modul je jedním ze základních konceptů homologické algebry . Zvláštním případem projektivních objektů jsou z hlediska teorie kategorií projektivní moduly .

Definice

Modul nad kruhem (obvykle považovaný za asociativní s prvkem identity) se nazývá projektivní, pokud pro každý homomorfismus a epimorfismus existuje homomorfismus takový, že , tj. daný diagram je komutativní: $P$ $A$ $g\colon P\to M$ $f\dvojtečka N\to M$ $h\colon P\to N$ $g=fh$

Nejjednodušším příkladem projektivního modulu je volný modul . Opravdu, nechť jsou prvky základu modulu a . Protože je epimorfismus, lze najít takové , že . Poté jej lze určit nastavením jeho hodnot na základní vektory jako . $F$ $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{i},\ldots$ $F$ $g(x_{i})=y_{i}$ $F$ $z_{i}$ $f(z_{i})=y_{i}$ $h$ ${\displaystyle h(x_{i})=z_{i))$

Pro polynomiální okruhy v několika proměnných v poli je libovolný projektivní modul volný.

Obecně tomu tak není, i když je snadné dokázat teorém, že modul je projektivní, právě když existuje modul takový, že přímý součet je volný. Pokud totiž existuje složka přímého součtu , která je volným modulem a je homomorfismem, pak je to také homomorfismus ( je projekce přímého součtu na první sčítanec ), a protože víme, že volné moduly jsou projektivní, existuje homomorfismus takový, že , tedy , kde je homomorfismus inkluze , tedy $P$ $K$ $F=P\oplus K$ $P$ $F$ $g\colon P\to M$ $gp_{1}\colon F\to M$ $p_{1}$ $F$ $P$ $h_{1}\colon F\to N$ ${\displaystyle gp_{1}=fh_{1))$ ${\displaystyle gp_{1}i_{1}=fh_{1}i_{1))$ $i_1$ $P\to F$

g=fh_{1}i_{1}\dvojtečka P\to M

Naopak, budiž projektivní modul. Každý modul je homomorfním obrazem volného modulu. Nechť je odpovídající epimorfismus. Pak se identický izomorfismus bude rovnat pro některé , protože je projektivní. Jakýkoli prvek pak může být reprezentován jako $P$ $g\colon F\to P$ $id\colon P\to P$ $id=gh$ $h\colon P\to F$ $P$ $F$

x=hg(x)+(x-hg(x))\in \mathrm {Im} \,h\oplus \mathrm {Ker} \,g

kde je izomorfní . $\mathrm {Im} \,h$ $P$

Vlastnosti

$P$ je projektivní právě tehdy, když pro jakýkoli epimorfismus je indukovaný homomorfismus epimorfismem. $f\dvojtečka N\to M$ $f_{*}\colon {\text{Hom}}(P,N)\to {\text{Hom}}(P,M)$
$P$ je projektivní právě tehdy, když mapuje jakoukoli krátkou přesnou sekvenci na přesnou sekvenci . $0\to A\to B\to C\to 0$ $0\to {\text{Hom}}(P,A)\to {\text{Hom}}(P,B)\to {\text{Hom}}(P,C)\to 0$
Přímý součet modulů je projektivní právě tehdy, když je projektivní každý člen.

Viz také

Literatura

Kartan A., Eilenberg S. Homologická algebra. — M. : IL, 1960
McLane S. Homologie. - M .: Mir, 1966 ..