Lagrangeův derivát

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 27. září 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Lagrangeova derivace , také známá jako substantivní derivace nebo derivace materiálu , je derivace zaujatá jako funkce souřadnicového systému pohybujícího se rychlostí u a často se používá v mechanice tekutin a klasické mechanice . Je definována jak ze skalární funkce souřadnic a času, tak z vektorové : $\phi ({\vec {r)),t)$ ${\vec {v}} ({\vec {r}}), t)$

{\frac {D\phi }{Dt))={\frac {\částečné \phi }{\částečné t))+({\mathbf {u))\cdot \nabla )\phi

{\frac {D{\mathbf {v}}}{Dt}}={\frac {\částečný {\mathbf {v}}}{\částečný t}}+({\mathbf {u}}\cdot \ nabla ){\mathbf {v}}

kde je operátor nabla a označuje parciální derivaci vzhledem k t. Druhý člen je konvektivní derivace této funkce. $\nabla$ ${\frac {\částečné }{\částečné t))$

Následující identita je pravdivá, když se vezme Lagrangeova derivace integrálu :

{\frac {D}{Dt}}\int \limits _{{V(t)}}f({\mathbf {x}})\,dV=\int \limits _{{V(t))) ) \left({\frac {\partial f}{\partial t}}+\nabla \cdot (f{\mathbf {u}})\right)\,dV=\int \limits _{{V(t ) }}\left({\frac {Df}{Dt}}+f(\nabla \cdot {\mathbf {u}})\right)\,dV

Důkaz

Důkaz pomocí pravidla derivace komplexních funkcí pro parciální derivace. V tensorové notaci (s Einsteinovou sumační konvencí) lze psát:

\left[{\frac {d{\mathbf {B}}}{dt}}\right]_{j}={\frac {d}{dt}}{\hat {B_{j}}}(t ,x_{i}(t))={\frac {\částečné B_{j)){\částečné t))+{\frac {\částečné B_{j)){\částečné x_{i))}{\ frac {\partial x_{i}}{\partial t}}={\frac {\partial B_{j}}{\partial t}}+{\frac {\partial x_{i}}{\partial t} }{\frac {\partial }{\partial x_{i))}B_{j}={\frac {\partial B_{j)){\partial t))+\left[({\mathbf {u} }\cdot \nabla ){\mathbf {B}}\right]_{j}

Viz také

Konvektivní derivace