Prvočíslo Higgsovo číslo je prvočíslo takové, že hodnota Eulerovy funkce tohoto čísla (pro prvočíslo se rovná tomuto číslu mínus jedna) dělí druhou mocninu součinu menších Higgsových čísel beze zbytku.
V algebraickém zápisu pro daný exponent a Higgsovo prvočíslo Hp n splňuje podmínku
kde Φ( x ) je Eulerova funkce.
Několik prvních Higgsových prvočísel pro exponent 2
2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 43 , 47 , ... OEIS sekvence A007459 .Číslo 13 je například Higgsovým prvočíslem, protože druhá mocnina součinu menších Higgsových čísel je 5336100 a po dělení 12 dostaneme 444675. Číslo 17 však není Higgsovým prvočíslem, protože druhá mocnina součinu menší Higgsova čísla jsou 901800900 a po vydělení 16 dostaneme zbytek 4.
Následuje seznam nejmenších ne-Higgsových prvočísel pro mocniny 2 až 7
Index | 75. Higgsův prvočíslo | Čísla menší než 75, která nejsou Higgsova prvočísla |
---|---|---|
2 | 827 | 17, 41, 73, 83, 89, 97, 103, 109, 113, 137, 163, 167, 179, 193, 227, 233, 239, 241, 251, 1,3,29, 3, 1,3,29, 37 337, 353, 359, 379, 389, 401, 409, 433, 439, 443, 449, 457, 467, 479, 487, 499, 503, 503, 503, 503, 503, 503, 503, 509, 53857, 61 613, 617, 619, 641, 647, 653, 673, 719, 739, 751, 757, 761, 769, 773, 809, 811, 821, 823 |
3 | 521 | 17, 97, 103, 113, 137, 163, 193, 227, 239, 241, 257, 307, 337, 353, 389, 401, 409, 433, 443, 479, 449 |
čtyři | 419 | 97, 193, 257, 353, 389 |
5 | 397 | 193, 257 |
6 | 389 | 257 |
7 | 389 | 257 |
Další výzkum ukazuje, že Fermatova čísla nemohou být Higgsovými prvočísly pro exponent a, pokud a je menší než 2n .
Není známo, zda existuje nekonečně mnoho Higgsových prvočísel pro libovolný exponent a větší než 1. Pro a = 1 je situace zcela jiná – taková čísla jsou pouze čtyři: 2, 3, 7 a 43 (posloupnost vypadá podezřele jako Sylvesterova sekvence ). Burris a Lee v roce 1993 zjistili , že asi polovina prvočísel menších než milion jsou Higgsova prvočísla, z čehož došli k závěru, že i když je počet Higgsových prvočísel pro exponent 2 a samozřejmě „není možné je všechny vyjmenovat pomocí počítač."
Numerické soustavy | |
---|---|
Počitatelné sady |
|
Reálná čísla a jejich rozšíření |
|
Nástroje pro numerické rozšíření | |
Jiné číselné soustavy | |
viz také |