Higgs prvočíslí

Prvočíslo Higgsovo číslo je prvočíslo takové, že hodnota Eulerovy funkce tohoto čísla (pro prvočíslo se rovná tomuto číslu mínus jedna) dělí druhou mocninu součinu menších Higgsových čísel beze zbytku.

V algebraickém zápisu pro daný exponent a Higgsovo prvočíslo Hp n splňuje podmínku

kde Φ( x ) je Eulerova funkce.

Několik prvních Higgsových prvočísel pro exponent 2

2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 43 , 47 , ... OEIS sekvence A007459 .

Číslo 13 je například Higgsovým prvočíslem, protože druhá mocnina součinu menších Higgsových čísel je 5336100 a po dělení 12 dostaneme 444675. Číslo 17 však není Higgsovým prvočíslem, protože druhá mocnina součinu menší Higgsova čísla jsou 901800900 a po vydělení 16 dostaneme zbytek 4.

Následuje seznam nejmenších ne-Higgsových prvočísel pro mocniny 2 až 7

Index 75. Higgsův prvočíslo Čísla menší než 75, která nejsou Higgsova prvočísla
2 827 17, 41, 73, 83, 89, 97, 103, 109, 113, 137, 163, 167, 179, 193, 227, 233, 239, 241, 251, 1,3,29, 3, 1,3,29, 37 337, 353, 359, 379, 389, 401, 409, 433, 439, 443, 449, 457, 467, 479, 487, 499, 503, 503, 503, 503, 503, 503, 503, 509, 53857, 61 613, 617, 619, 641, 647, 653, 673, 719, 739, 751, 757, 761, 769, 773, 809, 811, 821, 823
3 521 17, 97, 103, 113, 137, 163, 193, 227, 239, 241, 257, 307, 337, 353, 389, 401, 409, 433, 443, 479, 449
čtyři 419 97, 193, 257, 353, 389
5 397 193, 257
6 389 257
7 389 257

Další výzkum ukazuje, že Fermatova čísla nemohou být Higgsovými prvočísly pro exponent a, pokud a je menší než 2n .

Není známo, zda existuje nekonečně mnoho Higgsových prvočísel pro libovolný exponent a větší než 1. Pro a = 1 je situace zcela jiná – taková čísla jsou pouze čtyři: 2, 3, 7 a 43 (posloupnost vypadá podezřele jako Sylvesterova sekvence ). Burris a Lee v roce 1993 zjistili , že asi polovina prvočísel menších než milion jsou Higgsova prvočísla, z čehož došli k závěru, že i když je počet Higgsových prvočísel pro exponent 2 a samozřejmě „není možné je všechny vyjmenovat pomocí počítač."

Odkazy