Ekvivalence je poměr dvou libovolných ( konečných nebo nekonečných ) množin , což znamená, volně řečeno, že jedna množina obsahuje stejný počet prvků jako druhá. Konečné množiny jsou ekvivalentní právě tehdy, pokud obsahují stejný počet prvků. Například sada tradičních souhvězdí zvěrokruhu a sada hran krychle jsou stejně výkonné, protože obě obsahují každý 12 prvků.
Pojem ekvivalence, který zavedl Georg Cantor v roce 1878, rozšiřuje tento vztah na nekonečné množiny a je na něm založena definice centrálního pojmu v teorii množin kardinality množiny . Cantor také definoval srovnání kardinalit - pokud dvě množiny nejsou ekvivalentní, pak mohutnost jedné z nich je větší než mohutnosti druhé ( v důkazu je použit axiom výběru ).
Definice 1 . Funkce definovaná na množině a nabývající hodnot v množině se nazývá korespondence jedna ku jedné [1] , pokud:
Je snadné vidět, že korespondence jedna ku jedné jako funkce má inverzní funkci (jedna ku jedné) definovanou na celé množině
Definice 2 . Dvě množiny se nazývají ekvivalentní , pokud je možné mezi nimi vytvořit vzájemnou korespondenci [2] . Variace v terminologii: Ekvivalentní množiny „mají stejnou mohutnost“ nebo „stejné kardinální číslo “.
V uvedené korespondenci jakýkoli prvek každé z ekvivalentních množin odpovídá přesně jednomu prvku druhé množiny.
Různí autoři navrhli různé symboly k označení ekvivalence množin :
(Cantorův zápis) ( Bourbaki notace ) # = #Dále v tomto článku je použit první zápis.
Množina přirozených čísel a množina sudých čísel jsou ekvivalentní, protože každé přirozené číslo odpovídá sudému číslu jedna ku jedné. Všechny množiny, které jsou ekvivalentní, se nazývají spočetné . Jakákoli nekonečná podmnožina je spočetná – například množina prvočísel .
Množina racionálních čísel je spočetná, ale množina reálných čísel je již nespočítatelná.
Všechny kruhy jsou stejné. Abychom to ověřili, zkonstruujeme pro každou kružnici polární souřadnicový systém s počátkem ve středu kružnice a vložíme korespondenční body se stejným polárním úhlem.
Nastíněný přístup se často používá k definování konceptu nekonečné množiny „podle Dedekinda “: množina se nazývá nekonečná, pokud je ekvivalentní své vlastní podmnožině (tedy podmnožině, která se neshoduje se vším ) [3] .
Relace ekvivalence je relace ekvivalence :
Proto vztah ekvivalence rozděluje množiny do nepřekrývajících se tříd ekvipotentních množin. Toto rozdělení umožnilo Cantorovi definovat koncept mohutnosti množiny jako jednu z takových tříd (v axiomatické teorii množin je koncept mohutnosti zaveden poněkud odlišně, podrobnosti viz článek o mohutnosti množiny ).
Z Cantorovy věty vyplývá, že žádná množina nemůže být velikostně ekvivalentní množině svých podmnožin (která má vždy větší moc) [4] .
Cantor-Bernsteinova věta : je-li ze dvou množin A a B každá ekvivalentní části druhé, pak jsou tyto dvě množiny ekvivalentní.
V roce 1877 Cantor objevil řadu neobvyklých důsledků své teorie [5] .
Vztah ekvivalence je konzistentní (s určitými omezeními) s operacemi teorie množin [6] .