Zatáhnout

Zatažení topologického prostoru je podprostor tohoto prostoru, pro který existuje zatažení na ; tedy souvislou mapu , která je identická na (tedy taková, že pro všechny ). $X$ $A$ $X$ $A$ $f:X\to A$ $A$ $f(x)=x$ $x\v A$

Zatažení topologického prostoru zdědí mnoho důležitých vlastností samotného prostoru. Zároveň může být uspořádán mnohem jednodušeji než sám, viditelnější, pohodlnější pro konkrétní studium.

Příklady

Jednobodová množina je stažení segmentu, čáry, roviny atd.
Každá neprázdná uzavřená sada dokonalé sady Cantor je jejím zatažením.
$n$ -rozměrná koule není zatažením -rozměrné koule euklidovského prostoru, protože koule má nulové homologické skupiny a koule má nenulovou skupinu . To je v rozporu s existencí retrakce, protože retrakce vyvolává epimorfismus homologních skupin. $(n+1)$ $H_n$

Související definice

Podprostor prostoru se nazývá sousedství retract , pokud existuje otevřený podprostor obsahující , jehož retract je . $A$ $X$ $X$ $A$ $A$
Metrizovatelný prostor se nazývá absolutní zatažení ( absolutní zatažení sousedství ), pokud se jedná o zatažení (respektive zatažení sousedství) každého metrizovatelného prostoru obsahujícího jako uzavřený podprostor. $X$ $X$
Pokud je stažení prostoru do jeho podprostoru homotopické se shodným zobrazením prostoru na sebe, pak se nazývá zatažení deformačního prostoru . $X$ $A$ $X$ $A$ $X$
Lineární operátor na topologickém vektorovém prostoru , který je retrakce, se nazývá spojitý projektor . Vektorový podprostor topologického vektorového prostoru se říká, že je doplněn, pokud existuje spojitá projekce . $P$ $E$ $F$ $E$ $P\colon E\to F$

Vlastnosti

Podprostor prostoru je jeho zatažením tehdy a jen tehdy, jestliže jakékoli souvislé mapování prostoru do libovolného topologického prostoru lze rozšířit na souvislé mapování celého prostoru do . $A$ $X$ $A$ $Y$ $X$ $Y$
Pokud je prostor Hausdorff , pak je každé zatažení prostoru uzavřeno v . $X$ $X$ $X$
Jakákoli vlastnost, která je zachována při přechodu na souvislý obraz, stejně jako jakákoli vlastnost zděděná uzavřenými podprostory, je stabilní s ohledem na přechod do zatažení. Zejména při přechodu do zatažení se
- kompaktnost ,
- propojenost ,
- lineární spojení ,
- oddělitelnost ,
- horní hranice rozměru ,
- parakompaktnost ,
- normalita ,
- místní kompaktnost ,
- místní konektivita .
Má -li prostor vlastnost pevného bodu , tzn. pro každou souvislou mapu existuje bod takový, že , pak má každé zatažení prostoru vlastnost pevného bodu. $X$ $f:X\to X$ $x\in X$ $f(x)=x$ $X$
Absolutní sousedské zatažení je místně smrštitelný prostor .
Retrakce indukuje epimorfismus skupin homologie .

Literatura

Borsuk K., Teorie retraktů, přel. z angličtiny, M., 1971.