Riemannovské ponoření

Riemannovské ponoření je ponoření mezi Riemannovými varietami , které je infinitesimally ortogonální projekce .

Definice

Dovolit a být Riemannovy variety . Hladké zobrazení se nazývá Riemannovo ponoření , pokud pro jakýkoli bod existuje izometrické lineární vložení takové, že existuje ortogonální projekce. Zde označuje diferenciál zobrazení v bodě . $(M,g)$ $(N,h)$ $f\dvojtečka (M,g)\to (N,h)$ $X$ $\imath _{x}\colon T_{f(x)}N\to T_{x}M$ $\imath _{x}\circ d_{x}f$ $d_{x}f$ $F$ $X$

U vektoru se vektor nazývá horizontální vztlak . $X\in T_{{f(x)}}$ $\overline {X}=\imath _{x}(X)$ $X$

O'Neillův vzorec

Buď riemannovský ponor. Potom pro jakákoli vektorová pole na , lze hodnotu tenzoru křivosti vypočítat pomocí O'Neillova vzorce $f\dvojtečka N\to M$ $X$ $Y$ $M$ $R_{M}$

\langle R_{M}(X,Y)V,W\rangle =\langle R_{N}({\overline {X)),{\overline {Y))){\overline {V)) ,{\overline {W}}\rangle +{\tfrac {1}{2}}\langle [{\overline {X}},{\overline {Y}}]^{V},[{\overline { V)),{\overline {W}}]^{V}\rangle +{\tfrac {1}{4}}\langle [{\overline {X}},{\overline {V}}]^{ V},[{\overline {Y)),{\overline {W}}]^{V}\rangle -{\tfrac {1}{4}}\langle [{\overline {X}},{\ overline {W}}]^{V},[{\overline {Y}},{\overline {V}}]^{V}\rangle

kde jsou vodorovné zdvihy polí , v tomto pořadí , a je vertikální složka Lieové závorky vektorových polí na . ${\overline {X}},{\overline {Y}},{\overline {V}},{\overline {W}}$ $X,Y,V,W$ $[\overline {X},\overline {Y}]^{V}$ $\overline {X},\overline {Y}$ $N$

Zejména,

\langle R_{M}(X,Y)Y,X\rangle =\langle R_{N}(\overline {X},\overline {Y})\overline {Y},\overline {X}\rangle + {\tfrac 34}\left|[\overline {X},\overline {Y}]^{V}\right|^{2}

Poznámky

$[\overline {X},\overline {Y}]^{V}$ je tenzor, to znamená, že jeho hodnota v bodě závisí pouze na hodnotách horizontálních vektorů a v tomto bodě. $\overline {X}$ ${\overline {Y}}$

Důsledky

Absolutní hodnota v bodě závisí pouze na bodě a hodnotách a v bodě . $[\overline {X},\overline {Y}]^{V}$ $p\in N$ $p$ $X$ $Y$ $f(p)$
Pokud má celkový prostor Riemannova ponoru sekční zakřivení , pak totéž platí pro jeho základnu. $\geqslant \kappa$

Variace a zobecnění

Submetrie je 1- Lipschitzovo a 1- Colipschitzovo mapování mezi metrickými prostory.

Literatura

Burago Yu.D., Zalgaller V.A. Úvod do Riemannovy geometrie. - Petrohrad: Nauka, 1994. - ISBN 5-02-024606-9 .
Besse A. Einstein rozdělovače. - M .: Mir, 1990. - ISBN 5-03-002066-7 . , svazek 2, str. 326-379.