Lieova algebra je objekt obecné algebry , což je vektorový prostor s antikomutativní bilineární operací definovanou na něm (nazývaná Lieova závorka nebo komutátor), která splňuje Jacobiho identitu . Obecně platí, že Lieova algebra je neasociativní algebra. Je pojmenován po norském matematikovi Sophus Lie ( 1842-1899 ).
Lieova algebra se přirozeně objevuje ve studiu infinitezimálních vlastností Lieových grup . Ve fyzice se Lieovy grupy jeví jako grupy symetrie fyzikálních systémů a jejich Lieovy algebry (tangenciální vektory blízké jednotě) lze považovat za pohyby nekonečně malé symetrie. Lieovy grupy a algebry jsou široce používány v kvantové fyzice.
Lieova algebra (jinak Lieova algebra) je vektorový prostor nad polem vybaveným bilineárním zobrazením
splňující následující dva axiomy :
Jinými slovy, Lieova algebra má antikomutativní operaci, která splňuje Jacobiho identitu . Tato operace se nazývá komutátor nebo Lieova závorka .
Obvyklý trojrozměrný vektorový prostor je Lieova algebra s ohledem na operaci křížového součinu .
Také se používá termín maticové Lieovy algebry .
Jestliže je konečnorozměrný vektorový prostor nad ( ), pak množina jeho lineárních transformací je také vektorovým prostorem nad . Má rozměr a může být reprezentován jako prostor matic . V tomto vektorovém prostoru je dána přirozená operace násobení (skládání transformací). Definujme operaci Lie závorky vzorcem . Takto zavedený prostor s Lieovou závorkou splňuje všechny axiomy Lieovy algebry.
Abychom odlišili výslednou Lieovu algebru od původní asociativní algebry lineárních transformací, označíme ji . Tato Lieova algebra se nazývá úplná lineární Lieova algebra . V případě nekonečněrozměrného prostoru V se také používá zápis . Jakákoli subalgebra v se nazývá lineární Lieova algebra
Nechť je libovolná asociativní algebra s násobením: → . Má přirozenou strukturu Lieovy algebry přes , definujeme-li Lieovu závorku pomocí asociativního násobení vzorcem: , tento výraz se nazývá komutátor .
Inverzní operace, podle Lie algebry, nějaká asociativní algebra je postavena, nazvaný univerzální obalová algebra . Původní Lieova algebra je vložena do zkonstruované asociativní algebry.
Jestliže M je hladká varieta , pak prostor všech diferencovatelných vektorových polí definovaných na něm tvoří nekonečněrozměrnou Lieovu algebru. Operaci, která transformuje vektorová pole na Lieovu algebru, lze popsat několika ekvivalentními způsoby.
Jacobiho identitu pro algebru vektorového pole lze přepsat jako Leibnizovo pravidlo pro Lieovu derivaci:
.Poznámka: Skupina diffeomorfismu variety by měla být neformálně považována za "Lieovu grupu" pro Lieovu algebru vektorových polí na varietě. Ačkoli v nekonečně-dimenzionálním případě není korespondence mezi grupami a Lieovými algebrami formální, přesto lze mnohé vlastnosti snadno zobecnit (ačkoli některé přestávají být pravdivé).
Odvození v algebře je lineární zobrazení, které splňuje Leibnizovo pravidlo pro odvození produktu. Množina všech derivacíje vektorový podprostor v. Komutátor dvou derivací je opět derivace, stejně jako subalgebra v.
Spolu s derivacemi libovolných algeber lze uvažovat o konkrétním případě odvození Lie algebry . V Lieových algebrách vznikají některé derivace přirozeným způsobem. Přidružené endomorfismy jsou odvozeniny Lie algebry formy . Takové odvozeniny se nazývají vnitřní , ostatní se nazývají vnější . Zobrazení se nazývá adjungovaná reprezentace Lieovy algebry .
Vnitřní derivace se tvoří do subalgebry izomorfní k faktorové algebře algebry s ohledem na její centrum .
Slovníky a encyklopedie | ||||
---|---|---|---|---|
|