Lží algebra

Lieova algebra je objekt obecné algebry , což je vektorový prostor s antikomutativní bilineární operací definovanou na něm (nazývaná Lieova závorka nebo komutátor), která splňuje Jacobiho identitu . Obecně platí, že Lieova algebra je neasociativní algebra. Je pojmenován po norském matematikovi Sophus Lie ( 1842-1899 ).

Lieova algebra se přirozeně objevuje ve studiu infinitezimálních vlastností Lieových grup . Ve fyzice se Lieovy grupy jeví jako grupy symetrie fyzikálních systémů a jejich Lieovy algebry (tangenciální vektory blízké jednotě) lze považovat za pohyby nekonečně malé symetrie. Lieovy grupy a algebry jsou široce používány v kvantové fyzice.

Definice

Lieova algebra (jinak Lieova algebra) je vektorový prostor nad polem vybaveným bilineárním zobrazením $\mathfrak{L}$ $K$

{\mathfrak {L}}^{2}\to {\mathfrak {L}},\ \ (x,y)\mapsto [x,y],

splňující následující dva axiomy :

$[x,x]=0$ ;
$[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0$ ( Jakobiho identita ).

Jinými slovy, Lieova algebra má antikomutativní operaci, která splňuje Jacobiho identitu . Tato operace se nazývá komutátor nebo Lieova závorka .

Poznámky

Identita implikuje antikomutativnost operátora, . Identita skutečně vyplývá z bilinearity operátoru . $[x,x]=0$ $[x,y]=-[y,x]$ $[x,y]+[y,x]=[x+y,x+y]-[x,x]-[y,y]$
Je-li charakteristika pole , pak platí i opak: identita vyplývá z antikomutativnosti . ${\mathrm {char}} (K)\neq 2$ $[x,y]+[y,x]=0$ $[x,x]=0$
Pojmy subalgebra , ideál , podílová algebra a homomorfismus jsou definovány obvyklým způsobem.
Někdy v definici Lie algebry je vektorový prostor nahrazen modulem (přes komutativní kruh s jednotkou).

Příklady

3-rozměrný vektorový prostor

Obvyklý trojrozměrný vektorový prostor je Lieova algebra s ohledem na operaci křížového součinu .

Lineární Lieovy algebry

Také se používá termín maticové Lieovy algebry .

Jestliže je konečnorozměrný vektorový prostor nad ( ), pak množina jeho lineárních transformací je také vektorovým prostorem nad . Má rozměr a může být reprezentován jako prostor matic . V tomto vektorovém prostoru je dána přirozená operace násobení (skládání transformací). Definujme operaci Lie závorky vzorcem . Takto zavedený prostor s Lieovou závorkou splňuje všechny axiomy Lieovy algebry. $PROTI$ $K$ ${\mathrm {dim}}\;V=n$ ${\mathrm {Konec}}\;V$ $K$ ${\mathrm {dim}} ({\mathrm {Konec}}\;V)=n^{2}$ $n\krát n$ $[x,y]=xy-yx$ ${\mathrm {Konec}}\;V$

Abychom odlišili výslednou Lieovu algebru od původní asociativní algebry lineárních transformací, označíme ji . Tato Lieova algebra se nazývá úplná lineární Lieova algebra . V případě nekonečněrozměrného prostoru V se také používá zápis . Jakákoli subalgebra v se nazývá lineární Lieova algebra ${\mathfrak {gl}}\;(V)$ ${\mathfrak {gl}}\;(V)$ ${\mathfrak {gl}}\;(V)$

Asociativní algebry a Lieovy algebry

Nechť je libovolná asociativní algebra s násobením: → . Má přirozenou strukturu Lieovy algebry přes , definujeme-li Lieovu závorku pomocí asociativního násobení vzorcem: , tento výraz se nazývá komutátor . ${\mathfrak {A}}$ $K$ $(x,y)$ $xy$ $K$ $[x,y]=xy-yx$

Inverzní operace, podle Lie algebry, nějaká asociativní algebra je postavena, nazvaný univerzální obalová algebra . Původní Lieova algebra je vložena do zkonstruované asociativní algebry.

Lieova algebra vektorových polí

Jestliže M je hladká varieta , pak prostor všech diferencovatelných vektorových polí definovaných na něm tvoří nekonečněrozměrnou Lieovu algebru. Operaci, která transformuje vektorová pole na Lieovu algebru, lze popsat několika ekvivalentními způsoby.

Pomocí Lie derivace pole Y ve směru pole X :

[X,Y]\ekviv L_{X}Y

Pokud je na varietě uveden lokální souřadný systém , pak v reprezentaci souřadnic je komutátor vektorových polí roven $(t_{1},...,t_{n})$

[X,Y]^{i}=X^{j}\částečné _{j}Y^{i}-Y^{j}\částečné _{j}X^{i},

kde jako obvykle je implikována sumace přes opakovaný index j a

\částečné _{j}Y^{i}(t_{1},...,t_{n})={\frac {\částečné }{\částečné t_{{j))))Y^{i} (t_{1},...,t_{n})

\částečné _{j}X^{i}(t_{1},...,t_{n})={\frac {\částečné }{\částečné t_{{j))))X^{i} (t_{1},...,t_{n})

— parciální derivace funkcí podél směrů t j .

Y^{i}(t_{1},...,t_{n}),X^{i}(t_{1},...,t_{n})

To lze ukázat výběrem libovolné Riemannovy metriky na varietu

[X,Y]=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X

, kde jsou vektorová pole a je kovariantní derivace vzhledem ke směru vektorového pole X. Ekvivalence s definicemi uvedenými výše ukazuje, že výsledek je ve skutečnosti nezávislý na výběru metriky.

X,Y

\nabla _{X}

Vektorová pole jedna ku jedné odpovídají derivacím algebry funkcí na varietě, komutátor derivací je opět derivace (viz další část) a definuje tedy vektorové pole.

Jacobiho identitu pro algebru vektorového pole lze přepsat jako Leibnizovo pravidlo pro Lieovu derivaci:

[X,[Y,Z]]=[[X,Y],Z]+[Y,[X,Z]]\Dlouhá šipka doleva L_{X}[Y,Z]=[L_{X}Y,Z] +[Y,L_{X}Z]

Poznámka: Skupina diffeomorfismu variety by měla být neformálně považována za "Lieovu grupu" pro Lieovu algebru vektorových polí na varietě. Ačkoli v nekonečně-dimenzionálním případě není korespondence mezi grupami a Lieovými algebrami formální, přesto lze mnohé vlastnosti snadno zobecnit (ačkoli některé přestávají být pravdivé).

Množina všech odvození K-algeber a Lieových algeber

Odvození v algebře je lineární zobrazení, které splňuje Leibnizovo pravidlo pro odvození produktu. Množina všech derivacíje vektorový podprostor v. Komutátor dvou derivací je opět derivace, stejně jako subalgebra v. ${\mathfrak {A}}$ $\delta :{\mathfrak {A}}\to {\mathfrak {A}}$ $\delta (ab)=a\delta (b)+\delta (a)b$ $\operatorname {Der}\;{\mathfrak {A}}$ $\operatorname {Konec}\;{\mathfrak {A}}$ $\operatorname {Der}\;{\mathfrak {A}}$ ${\mathfrak {gl(A)))$

Spolu s derivacemi libovolných algeber lze uvažovat o konkrétním případě odvození Lie algebry . V Lieových algebrách vznikají některé derivace přirozeným způsobem. Přidružené endomorfismy jsou odvozeniny Lie algebry formy . Takové odvozeniny se nazývají vnitřní , ostatní se nazývají vnější . Zobrazení se nazývá adjungovaná reprezentace Lieovy algebry . $L$ $L$ $\operatorname {ad}\;x\dvojtečka y\to [x,y];x,y\v L$ $L\to \operatorname {Der}\;L;\;x\mapsto \operatorname {ad}\;x$

Vnitřní derivace se tvoří do subalgebry izomorfní k faktorové algebře algebry s ohledem na její centrum . $\operatorname {Der} (L)$ $\operatorname {ad}\;L$ $L/Z (L)$ $L$ $Z(L):=\{x\in L\mid [x,y]=0;\forall y\in L\}$

Viz také

Literatura

Serre J.-P. Archivní kopie lži algebr a skupin lži z 20. února 2007 na Wayback Machine
Zdroje knihovny fyziky a matematiky Archivovány 14. července 2007 na webu Wayback Machine na webu EqWorld – „Svět matematických rovnic“ Archivováno 3. října 2008 na webu Wayback Machine .
Seminář "Sophus Lie". Teorie Lieových algeber. Topologie Lieových grup. — M .: IL, 1962 (djvu) .
Nomizu K. Lieovy grupy a diferenciální geometrie. — M. : IL, 1960 (djvu)
Bourbaki N. Lieovy grupy a algebry. Kapitoly I-III. M.: Mir, 1976. 496 s.
Bourbaki N. Lieovy grupy a algebry. Kapitola IX. M.: Mir, 1986. 174 s.
Humphries J. Úvod do teorie Lieových algeber a jejich reprezentace - M. : MTsNMO, 2003.

Slovníky a encyklopedie

V bibliografických katalozích
BNE : XX535297 BNF : 119444791 GND : 4130355-6 J9U : 987007529233905171 LCCN : sh85076782 NDL : 00567367 NKC : ph234835 SUDOC : 027392600