Rod celé funkce

Definice

Nechť posloupnost nul celé funkce je taková, že řada konverguje v , kde je nějaké nezáporné celé číslo (bez ztráty obecnosti budeme předpokládat, že toto číslo je nejmenší z těch, které mají tuto vlastnost). Pak má nekonečný součin z formulace Weierstrassovy věty tvar: $\{a_{n}\}$ $F$ $\sum _{1}^{\infty }\left({\frac {z}{a_{n}}}\right)^{{p_{n}+1}}$ $p_{n}=\rho$ $\rho$

$f(z)=z^{\lambda }e^{{h(z)}}\prod _{1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{a_{n}}} \right)\exp \left({\frac {z}{a_{n}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{a_{n}}}\right )^{2}+\tečky +{\frac {1}{\rho }}\left({\frac {z}{a_{n}}}\right)^{\rho }\right).$

Jestliže je polynom stupně , pak se nazývá celá funkce konečného rodu a číslo se nazývá rod celé funkce. Pokud není polynom nebo řada za žádných podmínek nekonverguje, pak je celá funkce nekonečného rodu . $Hz)$ $\rho_{1}$ $F$ $\max(\rho ;\rho _{1})$ $h$ $F$

Poincarého věta o rychlosti růstu celé funkce

Význam takové charakteristiky, jako je rod, spočívá ve skutečnosti, že ji lze použít k odhadu rychlosti růstu celé funkce. Konkrétně zvažte množství . Tvrzení Poincarého věty je, že rychlost růstu této funkce souvisí s jejím rodem. Totiž pro celou funkci rodu a libovolnou funkci existuje taková , že pro , platí nerovnost . $M(r)=\max _{{|z|=r}}|f(z)|$ $F$ $\rho$ $\alpha >0$ $r_{0}$ $r>r_{0}$ $M(r)<e^{{\alpha r^{{\rho +1))))$