Série Ejzenštejn

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 3. dubna 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Eisensteinovy řady , pojmenované po německém matematikovi Ferdinandu Eisensteinovi , jsou speciální jednoduché příklady modulárních forem daných jako součet výslovně zapsaných sérií.

Definice

Eisensteinova váhová ${\displaystyle G_{2k))$ $2k$ řada je funkce definovaná v horní polorovině a zadaná jako součet řady $\{Im(\tau )>0\}\subset \mathbb {C}$

G_{2k}(\tau )=\sum _{(m,n)\neq (0,0)}{\frac {1}{(m+n\tau )^{2k))}.

Tato řada absolutně konverguje k holomorfní funkci proměnné . $\tau$

Vlastnosti

Modularita

Řada Eisenstein definuje modulární formu váhy : pro všechna celá čísla s máme $2k$ $a,b,c,d\in \mathbb {Z}$ $ad-bc=1$

G_{2k}\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d))\right)=(c\tau +d)^{2k}G_{2k}(\tau ).

Vyplývá to ze skutečnosti, že Eisensteinovu řadu lze reprezentovat jako funkci mřížky generované 1 a τ , rozšiřující ji na celý prostor mřížek: $\Gamma =\langle 1,\tau \rangle$

G_{2k}(\Gamma )=\součet _{z\in \Gamma \setminus \{0\}}z^{-2k}.

Potom vztah modularity odpovídá přechodu od báze k bázi stejné mřížky (která nemění hodnotu ) a normalizaci druhého prvku nové báze o 1. $G_{2k}(\lambda \Gamma )=\lambda ^{-2k}G_{2k}(\Gamma).$ $\{\tau ,1\}$ ${\displaystyle \{a\tau +b,c\tau +d\))$ $G_{2k}(\Gamma )$

Reprezentace modulárních formulářů

Navíc, jak se ukazuje, jakákoli modulární forma (s libovolnou váhou ) je vyjádřena jako polynom v a : $2m$ ${\displaystyle G_{4))$ ${\displaystyle G_{6))$

f=\sum _{4k+6l=2m}a_{k}G_{4}^{k}G_{6}^{l}.

Spojení s eliptickými křivkami

$\wp$ -Weierstrassova funkce eliptické křivky expanduje do Laurentovy řady v nule as $E=\mathbb {C} /\Gamma$

\wp _{E}(z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{k=1}^{\infty }(2k+1)G_{2k+ 2 }(\Gamma )z^{2k}.

Zejména modulární invarianty křivky E jsou

g_{2}=60G_{4},\quad g_{3}=140G_{6}.

Literatura

A. Weil, Eliptické funkce podle Eisensteina a Kroneckera , ( Springer-Verlag , Berlin, Heidelberg, New York 1976), přeloženo z angličtiny. Yu. I. Manina, M.: "Mir", 1978:
Serre J.-P., Kurz aritmetiky. M.: Mir, 1972.
Kubota T. Elementární teorie Ejzenštejnových řad. - M. , Nauka , 1986. - 136 s.