Schwarzova bota

Schwarzova bota (z němčiny Schwarzscher Stiefel ) je rodina aproximací kruhového válce pomocí polyhedrálních ploch.

Mezní oblast těchto aproximací může být libovolně velká. Tato konstrukce umožňuje vidět nejednotnost definování plochy povrchu jako nejmenší horní hranice ploch polyedrických ploch do ní vepsaných, na rozdíl od skutečnosti, že délku křivky lze definovat jako nejmenší horní hranici plochy. délky mnohostěnných ploch do něj vepsaných.

Historie

Konstrukce byla navržena v roce 1890 Hermannem Schwartzem jako protipříklad k chybné definici povrchové plochy v knize Josepha Serreta [1] . Bez ohledu na Schwartze našel stejný příklad Giuseppe Peano . Jeho učitel Angelo Genocchi také diskutoval o tomto problému se Schwartzem. Genocchi informoval Charlese Hermite , který ve svém kurzu použil Serretovu chybnou definici. Hermite pak revidoval svůj kurz a publikoval Schwartzovu poznámku ve druhém vydání svých přednášek. [2]

Konstrukce

Výška válce je rozdělena rovinami rovnoběžnými se základnami na stejné části. Pravidelné -gony zapadají do vytvořených sekcí (kruhů) a sousední -gony jsou vůči sobě natočeny pod úhlem tak, že vrcholy překrývajícího -gonu jsou nad středy stran spodního -gonu . Potom se spojí vrcholy -gonů tak, že vznikne plocha trojúhelníků; každá z jeho „vrstev“ je antiprismem . Výsledný polyedrický povrch se nazývá Schwartzova bota . $n$ $k$ $k$ $\pi /k$ $k$ $k$ $k$ $2nk$

Jestliže , pak se rozměry těchto trojúhelníků libovolně zmenšují, to znamená, že Schwartzova bota tíhne k válci. $n,k\to \infty$

Vlastnosti

To ukazuje jednoduchý výpočet
- kdy plocha, tedy součet ploch všech trojúhelníkových ploch švarcovské boty, tíhne k nekonečnu. $k,n/k^{2}\to \infty$
- v oblasti Schwarzovy boty směřuje k oblasti kruhového válce. $n,k^{2}/n\to \infty$
S ohledem na svou vnitřní metriku je Schwarzova bota izometrická k nějakému kruhovému válci.

Poznámky

↑ JA Serret, Cours de calcul Differentiel et integration (strana 296 prvního vydání a strana 298 druhého)
↑ Schwarz, HA, "Sur une définition erronée de l'aire d'une povrchové courbe", Gesammelte Mathematische Abhandlungen, 1 (1890), 309-311

Literatura

Dubrovský, V.N., Při hledání stanovení povrchové plochy , Kvant . - 1978. - č. 5. - S. 31-34.
Fikhtengol'ts, G. M. Kurz diferenciálního a integrálního počtu. - M .: Mir , 1969. - T. 3.(§ 623).