Symetrický vztah

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 3. září 2018; kontroly vyžadují 4 úpravy .

V matematice se binární relace na množině X nazývá symetrická pro každou dvojici prvků množiny , splnění relace znamená splnění vztahu . $R$ $(a,b)$ $a\,R\,b$ $b\,R\,a$

Formálně je vztah symetrický, jestliže . $R$ $\forall a,b\in X,\ a\,R\,b\Rightarrow b\,R\,a$

Antisymetrie vztahu není antonymem symetrického vztahu. Obě vlastnosti platí pro některé vztahy současně a pro jiné neplatí ani jedna. To může být považováno za antonymum asymetrické relace , protože jediná binární relace, která je symetrická i asymetrická, je prázdná relace.

Příklady

Jakýkoli vztah ekvivalence je podle definice symetrický (stejně jako reflexivní a tranzitivní ). Symetrická je také vazba vrcholů grafu (neorientovaného).

Nejsou symetrické (s výjimkou případu shodné nepravdivosti relace) řádové relace (plné i částečné), stejně jako relace posloupnosti vrcholů orientovaného grafu . Relace srovnatelnosti pro dílčí řád je však svou konstrukcí symetrická (ačkoli na rozdíl od řádu samotného není tranzitivní) .

Symetrická poměrová matice je symetrická vzhledem k hlavní diagonále (shoduje se s transponovanou). Pokud existuje spojení mezi dvěma vrcholy v grafu symetrického vztahu, pak existuje také zpětná vazba.