Sympletická geometrie

Symplectic geometry je obor diferenciální geometrie a diferenciální topologie , který studuje symplektické variety : hladké variety s vybranou uzavřenou nedegenerovanou 2-formou. Původní symplektická geometrie vznikla z Hamiltonovského formalismu v klasické mechanice , kdy se fázový prostor pro klasický systém ukázal jako symplektická varieta.

Symplectic geometrie má jak podobnosti tak rozdíly s Riemannian geometrií , který studuje manifolds s vybranou kvadratickou pozitivní konečnou formou - metrický tensor - dovolit jednomu určovat vzdálenosti na manifold. Na rozdíl od případu Riemannovy geometrie neexistuje místní invariant na symplektických varietách, což je zakřivení v Riemannově případě . To vyplývá z Darbouxova teorému , který uvádí, že dostatečně malé okolí libovolného bodu 2n - rozměrné symplektické variety je izomorfní k nějaké oblasti se standardní symplektickou formou: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n))$

{\displaystyle \omega =\sum _{j}dp_{j}\wedge dq_{j))

Dalším rozdílem od Riemannovy geometrie je to, že ne každé manifoldu může být dána symplektická struktura: existuje řada topologických omezení. Rozdělovač tedy musí být sudý a orientovatelný . Také v případě uzavřené manifoldy musí být její druhá homologická skupina netriviální: symplektická forma na kompaktní manifoldu bez hranic nemůže být přesná . $M$ $H^{2}(M,\mathbb {R} )$

Literatura

Fomenko A. T. Symplectic geometrie. Metody a aplikace. - M. : MGU, 1988. - 413 s. — ISBN 5-211-00083-8 .