Darbouxova věta v symplektické geometrii

Darbouxův teorém v symplektické geometrii je tvrzení, že pro jakoukoli symplektickou strukturu danou na varietě má jakýkoli bod v otevřeném sousedství a lokálních osách v něm, ve kterém má symplektická forma kanonickou formu . $M^{{2n}}$ $M^{{2n}}$ ${\displaystyle q_{1},...,q_{n},p_{1},...,p_{n))$ $\omega$ ${\displaystyle \sum _{j}dp_{j}\wedge dq_{j))$

Formulace

Dovolit být symplektická struktura na . Pak pro jakýkoli bod vždy existuje okolí s takovými lokálními pravidelnými souřadnicemi , ve kterých je formulář zapsán v nejjednodušší kanonické formě, a to: $\omega$ $M^{{2n}}$ $x\in M^{2n}$ ${\displaystyle q_{1},...,q_{n},p_{1},...,p_{n))$ $\omega$

{\displaystyle \omega =\sum _{i}dp_{i}\wedge dq_{i))

to znamená, že v každém bodě tohoto sousedství má matice tvar bloku $\left(\omega _{ij}\right)$

{\begin{pmatrix}\mathbb {0} &\mathbb {E} \\-\mathbb {E} &\mathbb {0} \end{pmatrix))

kde a jsou matice nuly a identity , v tomto pořadí. Sada souřadnic se nazývá kanonické souřadnice nebo Darbouxovy souřadnice a sady souřadnic a jsou kanonicky vzájemně sdružené. $\mathbb {0}$ ${\mathbb {E}}$ $n\krát n$ $2\,n$ $(q,\,p)$ $n$ $q$ $p$

Důkaz

Moderní důkaz Darbouxovy věty používá takzvaný Moserův trik . Zvláště zřetelné je to na uzavřených symplektických manifoldech. Jmenovitě, nechť jsou dvě symplektické formy na manifoldu , které patří do stejné de Rhamovy cohomologické třídy . Pak (například, vezmeme-li v úvahu jejich lineární kombinace: kužel nedegenerovaných forem je konvexní) mohou být příbuzné jednoparametrovou rodinou symplektických forem tak, že jejich třída cohomologie je stejná. Proto podle definice de Rham cohomologie máme právo psát , kde je nějaká 1-forma. Dovolit být vektorové pole takové, že (takové existuje kvůli non-degenerace všech forem ). ${\displaystyle \omega _{0},\omega _{1))$ $X$ ${\displaystyle \omega _{t))$ $t\in [0;1]$ ${\frac {\partial \omega _{t}}{\partial t}}=d\eta _{t}$ $\eta _{t}$ $v_{t}$ $\iota _{v_{t}}\omega _{t}=\eta _{t}$ ${\displaystyle \omega _{t))$

Složme tyto dvě rodiny, jmenovitě vektorová pole a 2-formy, do jediného vektorového pole definovaného na varietě s hranicí jako , a do jediné 2-formy , omezené na jakoukoli podvarietu as (implicitně se ztotožňujeme s tím, že zapomeneme na čas souřadnice a bez této konstanty na ) a zmizí, když je do ní dosazeno vektorové pole . Všimněte si, že obecně řečeno, forma není uzavřena jako forma na : když napíšete explicitní vzorec pro de Rhamův diferenciál, je snadné vidět rovnost (spolu s identickými mizejícími podél podvariet je 3-forma jednoznačně určena ). $PROTI$ $X\times [0;1]$ ${\displaystyle V_{(x,t)}={\frac {\partial }{\partial t))-(v_{t})_{x))$ $\Omega$ ${\displaystyle X_{t}=X\times \{t\))$ ${\displaystyle \omega _{t))$ $X_{t}$ $X$ $X_{t}$ ${\frac {\částečné }{\částečné t))$ $\Omega$ $X\times [0;1]$ $\iota _{\frac {\partial }{\partial t))d\Omega ={\frac {\partial \omega _{t)){\partial t))$ $X_{t}$ $d\Omega$

Použijme tedy Cartanův vzorec: . Proto tok vektorového pole zachovává tvar . Jeho tok zároveň přeměňuje podmanifoldy do sebe. Proto jím definované Cauchyho mapování , které mapuje počáteční bod integrální křivky do jejího koncového bodu, transformuje formové omezení na formové omezení , to znamená, že definuje difeomorfismus transformující se do . $\left(\mathrm {Lie} _{V}\Omega \right)_{t}=\left(d\iota _{V}\Omega +\iota _{V}d\Omega \right) _{t}={\frac {\partial \omega _{t}}{\partial t}}-d\iota _{v_{t}}\omega _{t}=d\eta _{t}- d\eta _{t}=0$ $PROTI$ $\Omega$ $X_{t}$ $X_{0}\to X_{1}$ $\Omega$ $\Omega$ $X$ $\omega_0$ $\omega_{1}$

Zejména, když je varieta dvourozměrná, symplektická forma je stejná jako plošná forma, takže odpovídající třída kohomologie je definována jediným číslem, jeho integrálem v základním cyklu, jinými slovy, oblastí povrch. Třída symplektomorfismu symplektického povrchu je tedy jednoznačně určena jeho rodem a oblastí. Zdá se, že tato skutečnost byla známa i Poincarému . $X$

Důkaz pro otevřenou plochu (tedy původní tvrzení Darbouxovy věty) je poněkud zdlouhavější, i když nevyžaduje další podstatné myšlenky, a je v knize [1] .

Variace a zobecnění

Varianta Darbouxova teorému pro Lagrangian subvariet je kvůli Weinsteinovi . Jmenovitě existuje kanonická symplektická struktura na celkovém prostoru svazku kotangens ke každé manifoldu. Na druhou stranu, pokud je symplektická varieta a je Lagrangiánskou podvarietou (tj. polorozměrná podvarieta taková, že ), pak existuje izomorfismus tečných a konormálních svazků k : vektor tečny je poslán do funkční mizející at a proto je definován na normálním prostoru ; na základě nedegenerace formy se tímto způsobem získá každý funkcionál na normálním prostoru. Dualizací lze toto mapování považovat za mapování z kotangentního svazku do normálního svazku. Darboux-Weinsteinova věta říká, že toto zobrazení lze integrovat do reálného zobrazení , kde je nějaké trubicové okolí nulového úseku svazku kotangens , navíc takové, že je na něm konstantní a přebírá symplektický tvar na symplektický formulář na . Zejména grafy uzavřených 1-formy pod takovým mapováním přejdou do Lagrangových podvariet v blízkosti . $(X,\omega )$ $Y\podmnožina X$ $\omega |_{Y}\equiv 0$ $Y$ $proti$ $\iota _{v}\omega$ $TY$ $TX/TY$ $\omega$ $U\to X$ $U$ $T^{*}Y$ $Y$ $U\subset T^{*}Y$ $X$ $X$ $Y$

Podivná-dimenzionální analogie Darbouxova teorému pro kontaktní manifoldy je způsobena Grayem .

Darbouxova věta v podstatě znamená, že symplektické variety nemají žádné lokální invarianty, což při jejich studiu přesouvá zaměření na topologii. Komplexní struktury mají určité podobnosti : pro jakýkoli operátor téměř složité struktury (tj. takové, že ), který splňuje podmínku integrovatelnosti (to znamená, že imaginární vektorová pole, vlastní hodnoty pro operátor , když jsou komutovány, dávají pole, které je také eigenfor s eigenvalue ), existuje komplexní mapa, tedy lokální holomorfní mapování do domény v . Toto tvrzení představuje Newlander-Nirenbergův teorém , jehož důkaz je mnohem obtížnější. Příklad situace, kdy Darbouxův teorém neplatí, je dán Riemannovými varietami : pro lokální izometrii musí mít dvě metriky stejné tenzory Riemannovy křivosti . Zároveň jsou Riemannovy metriky jednodušší v tom smyslu, že u nich je vždy automaticky splněna podmínka „integrovatelnosti“ (podobně jako výše uvedená podmínka pro téměř komplexní strukturu nebo podmínka pro nedegenerovanou 2-formu): téměř symplektická a téměř složitá struktura, podmínka integrovatelnosti je ekvivalentní existenci lineárního beztorzního spojení , vzhledem k němuž jsou tyto tenzory paralelní, zatímco pro Riemannovu metriku takové spojení existuje a navíc je jedinečné. $I\colon TX\to TX$ $I^{2}=-\mathrm {Id} _{TX}$ ${\sqrt {-1}}$ $já$ $já$ ${\sqrt {-1}}$ $\mathbb {C} ^{n}$ $d\omega =0$

Pro holomorfně symplektické variety také nemůže existovat analog Darboux-Weinsteinova teorému, a to z podstatných důvodů. Uvažujme například povrch K3 s neizotriviálním eliptickým svazkem (tj. svazek, jehož společné vlákno je hladké a v blízkosti jakéhokoli nesingulárního vlákna jsou všechny vrstvy po párech neizomorfní eliptické křivky) a je jedno z vláken tohoto svazku. Holomorfní kotangens svazek k eliptické křivce je triviální a grafy uzavřených 1-forem, tedy jejich konstantních řezů, jsou eliptické křivky biholomorfní k dané. Na druhou stranu, jak poznamenal Hitchin , holomorfně symplektická forma, nahlížená jako 2-forma s komplexními koeficienty, umožňuje jedinečně obnovit komplexní strukturu na manifoldu. Pokud by existovalo mapování , kde je okolí nultého úseku, které mapuje holomorfně symplektickou formu na do holomorfně symplektické formy na , pak by bylo samo holomorfní a křivky mapy blízké křivkám blízkým , navíc biholomorfní . Z přídavného vzorce je ale jasné, že všechny deformace eliptické křivky na ploše K3 tvoří jednoparametrovou rodinu a patří do stejného eliptického svazku. Pokud tedy svazek není izotriviální, pak takové mapování nemůže existovat. Pro holomorfní variety v holomorfně symplektických varietách (například racionální křivky na plochách K3) stále existuje analogie Darboux-Weinsteinovy věty, ale klíčem k jejímu důkazu nejsou geometrické úvahy jako Moserův trik, ale teorie singularit nebo dokonce teorie reprezentace : například pod foukáním racionální křivky na K3-povrch tvoří singularita typu A 1 , což je také faktor , který je také singularitou nilpotentního kužele Lie algebry ; a všechny takové singularity jsou ekvivalentní až do analytického izomorfismu, který dává izomorfismus pro okolí křivky před odfouknutím. U křivek většího rodu je tomu přesně naopak: znalost libovolně malého okolí křivky umožňuje jedinečně rekonstruovat povrch (nebo alespoň pole meromorfních funkcí na něm). V zásadě lze změřit rozsah, do kterého okolí komplexní podvariety nepřipouští izomorfismus s okolím nulového úseku jeho normálního svazku, pomocí invariantu podobného třídě Ueda ; ale existuje pouze pro podvariety kodimenze jedna, tedy pokud mluvíme o Lagrangiových podvarietách, křivkách na plochách. V případě eliptických křivek na komplexních plochách, ke kterým je normální svazek topologicky triviální, je kritériem pro přítomnost lokálního biholomorfismu s kotangentním svazkem dána tzv . Arnoldova věta o malých jmenovatelích : je- li normál svazek eliptické křivky ležící na komplexní ploše , pak podél je lokálně biholomorfní okolí nulového úseku právě tehdy, když pro jakoukoli invariantní metriku na Picardově grupě má funkce asymptotiku (stejná podmínka pro růst jmenovatelů Konvergentní zlomky k číslu jsou nezbytné, aby toto číslo bylo algebraické , odtud název věty; je zvláštní, že porušení podobné podmínky o poměru dob otáčení nebeských těles činí cirkulaci na některých drahách nepravděpodobnou, což dává vzestup ke Kirkwoodovým slotům a Cassini fission , více podrobností v článku " Orbitální rezonance "). Zároveň ve vysokých dimenzích není tato věda ani zdaleka dokončena: například domněnka Matsushita , která uvádí, že Lagrangiánská fibrace na hyperkählerově manifoldu je buď izotriviální, nebo její vlákna (což jsou vždy abelovské odrůdy - to je snadné věta) tvoří rodinu plné dimenze ve vesmírných modulech abelovských variet nebyla dosud prokázána (ačkoli v roce 2015 učinili van Gemen a Voisin v této otázce významný pokrok ). $X$ $E$ $U\to X$ $U\subset T^{*}E$ $T^{*}E$ $X$ $E\subset U$ $E\podmnožina X$ $E$ $\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}/\{\pm 1\))$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ $L$ $E$ $X$ $X$ $E$ $L$ $\rho$ $\mathrm {Pic} (E)$ $-\ln \rho ({\cal {O}}_{E},L^{\otimes n})$ $O(\ln n)$

Skutečnost, že pro holomorfně symplektické variety není naděje na existenci Darboux-Weinsteinovy věty, lze ukázat i jinak. Konkrétně na okolí nultého úseku dochází k holomorfní akci grupy , která násobí kotangensové vektory komplexními čísly rovnými v modulu jedné. Ve výše uvedeném příkladu neizotriviálního eliptického povrchu K3 je takové lokální působení nemožné, protože všechna jeho vlákna v jakémkoli sousedství jsou párově nebiholomorfní. V jistém smyslu je tato úvaha jedinou překážkou existence analogie Darboux-Weinsteinovy věty pro holomorfně symplektické variety. V každém případě je v Kaledinových memoárech obsažena následující věta , kterou představil v Terstu v roce 1994: [2] $\mathrm {U} (1)$

Dovolit být holomorfně symplektická varieta obdařená pravidelnou holomorfní skupinovou akcí tak, že prvek násobí holomorfně symplektickou formu číslem . Pak existuje otevřené sousedství množiny pevných bodů této akce a kanonické zobrazení takové, že hyperkählerova metrika na je indukována tímto zobrazením z kanonické hyperkählerovy struktury do . $X$ $\mathrm {U} (1)$ $z\in \mathrm {U} (1)$ $z\in \mathbb {C}$ $U\podmnožina X$ $Y=X^{\mathrm {U} (1)}\subset X$ $U\to T^{*}Y$ $U$ $T^{*}Y$

Dokázal také verzi tohoto tvrzení pro obecnější hyperkomplexní variety.

Poznámky

↑ Symplektická geometrie. Metody a aplikace., 1988 , str. 84-867.
↑ ed.: S. Marchiafava, P. Piccinni, M. Pontecorvo. Kvarternionové struktury v matematice a fyzice (anglicky) . - World Scientific , 2001. - S. 199 . — ISBN 981-02-4630-7 .

Literatura

Fomenko A.T. Sympletická geometrie. Metody a aplikace. - M. : MGU, 1988. - 413 s. — ISBN 5-211-00083-8 .