Tenzor křivosti

Riemannův tenzor zakřivení (někdy nazývaný Riemannův-Christoffelův tenzor zakřivení ) je standardní způsob vyjádření zakřivení Riemannových variet a obecněji libovolných variet s afinním spojením , bez kroucení nebo s torzí.

Pojmenován po Bernhardu Riemannovi .

Definice

Tenzor křivosti je definován jako lineární transformace prostoru tečny v každém bodě manifoldu, která charakterizuje změnu vektoru , přenášenou paralelně podél nekonečně malého uzavřeného rovnoběžníku překlenutého vektory . $R(u,\;v)$ $u,\;v$

Tenzor křivosti je vyjádřen v termínech Levi-Civita spojení , nebo obecně afinní spojení (které se také nazývá kovariantní derivace ) takto: $\nabla$

R(u,\;v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w-\nabla _{{[u,\;v] }}w,

kde je závorka lži . $[u,\;v]$

Pokud jsou vektorová pole dána diferenciací vzhledem k souřadnicím , a , a tedy commute ( ), vzorec má zjednodušenou formu: $u=\částečný /\částečný x_{i}$ $v=\částečné /\částečné x_{j}$ $[u,\;v]=0$

R(u,\;v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w,

tak tenzor zakřivení měří nekomutativnost kovariantních derivátů .

Poznámka. Někteří autoři definují tenzor křivosti opačným znaménkem

Související definice

Lineární transformace se nazývá transformace křivosti . $w\mapsto R(u,\;v)w$
Jestliže a jsou dva kolmé jednotkové vektory v bodě , pak výraz závisí pouze na rovině v , která je překlenuta a . $u$ $proti$ $p$ $\langle R(u,\;v)v,\;u\rangle$ $\sigma$ $T_{p}$ $u$ $proti$
- Rovina se nazývá směr řezu . $\sigma$
- Veličina se nazývá zakřivení průřezu ve směru a obvykle se označuje jako . $\langle R(u,\;v)v,\;u\rangle$ $\sigma$ $K_{\sigma }$

Komponenty tenzoru křivosti

V souřadnicovém systému jsou komponenty tenzoru křivosti definovány takto: $x^{\mu }$

{R^{\rho }}_{{\sigma \mu \nu }}=dx^{\rho }(R(\částečné _{{\mu }}),\;\částečné _{{\nu } } )\partial_{{\sigma }}),

kde je vektorové pole tečné k souřadnicové čáře v každém bodě . Pokud jde o Christoffelovy symboly : $\partial _{{\mu }}=\partial /\partial x^{{\mu }}$ $x^{\mu }$

{R^{\rho }}_{{\sigma \mu \nu }}=\částečné _{\mu }\Gamma _{{\nu \sigma }}^{\rho }-\částečné _{\nu }\Gamma _{{\mu \sigma }}^{\rho }+\Gamma _({\mu \lambda }}^{\rho }\Gamma _({\nu \sigma }}^{\lambda } -\Gamma _{{\nu \lambda }}^{\rho }\Gamma _{{\mu \sigma }}^{\lambda }.

Ve dvourozměrném prostoru je jedinou netriviální složkou Gaussova křivost .

Symetrie

Riemannův tenzor křivosti má následující vlastnosti symetrie:

R(u,\;v)=-R(v,\;u);

\langle R(u,\;v)w,\;z\rangle =-\langle R(u,\;v)z,\;w\rangle ;

R(u,\;v)w+R(v,\;w)u+R(w,\;u)v=0.

Poslední identita byla objevena Ricci , ačkoli to je voláno první Bianchi identita nebo algebraická Bianchi identita .

Tyto tři identity definují kompletní sadu symetrií tenzoru křivosti, to znamená, že pro jakýkoli tenzor, který splňuje tyto vztahy, lze najít Riemannovu varietu, jejíž křivost je popsána tímto tenzorem. Jednoduchý kombinatorický výpočet ukazuje, že tenzor křivosti musí mít nezávislé komponenty. $n^{2}(n^{2}-1)/12$

Další užitečný vztah vyplývá z těchto tří identit:

\langle R(u,\;v)w,\;z\rangle =\langle R(w,\;z)u,\;v\rangle .

Identita Bianchi (také nazývaná druhá identita Bianchi nebo diferenciální identita Bianchi ) zahrnuje kovariantní deriváty:

\nabla _{u}R(v,\;w)+\nabla _{v}R(w,\;u)+\nabla _{w}R(u,\;v)=0.

V daném souřadnicovém systému v sousedství nějakého bodu manifoldu lze výše uvedené identity ve složkách tenzoru křivosti zapsat následovně. Závorky označují symetrizaci ; dolní indexy za středníkem znamenají kovariantní derivát.

R_{{abcd}}=-R_{{bacd}}=-R_{{abdc}};

R_{{abcd}}=R_{{cdab}};

R_{{a(bcd)}}=R_{{abcd}}+R_{{acdb}}+R_{{adbc}}=0

(první identita Bianchi);

R_{{ab(cd;e)}}=R_{{abcd;e}}+R_{{abde;c}}+R_{{abec;d}}=0

(druhá identita Bianchi).

Viz také

Literatura

Burago Yu. D., Zalgaller V. A. Úvod do Riemannovy geometrie. - Petrohrad: Nauka, 1994. - ISBN 5-02-024606-9 .