Singulární distribuce

Singulární rozdělení (s ohledem na míru ) je rozdělení pravděpodobnosti , které je soustředěno na množinu tak, že . Často se však používá užší definice, která říká, že rozdělení v prostoru se nazývá singulární , soustředěné na množinu nulové Lebesgueovy míry a přiřazování nulové pravděpodobnosti každé jednobodové množině [1] . Je důležité poznamenat, že podle obecné definice je každé diskrétní rozdělení singulární vzhledem k Lebesgueově míře, ale v konkrétní definici jsou diskrétní rozdělení odvozena od množiny singulárních. $\mu$ $M$ $\mu (M)=0$ $\mathbb {R} ^{n}$

Pro jednorozměrný prostor lze také tvrdit, že rozdělení je singulární, pokud má množina růstových bodů distribuční funkce nulovou míru.

Vlastnosti

Singulární rozdělení nemůže být absolutně spojité (podle Radon-Nikodimovy věty ).

Jakékoli rozdělení pravděpodobnosti může být reprezentováno jako následující součet: $F$

{\displaystyle F=pF_{s}+qF_{ac))

kde , , , distribuce je singulární s ohledem na míru a distribuce je absolutně spojitá s ohledem na stejnou míru [2] . $\quad p\geqslant 0$ $q\geqslant 0$ $p+q=1$ ${\displaystyle F_{s))$ $\mu$ ${\displaystyle F_{ac))$

Příklady

Nejjednodušším příkladem singulární distribuce je distribuce soustředěná na Cantorovu množinu (její distribuční funkcí je Cantorův žebřík ).

Běžnější singulární distribuce v praktických problémech je distribuce náhodných směrů ve dvourozměrném euklidovském prostoru [2] . Náhodný směr odpovídá jednotkovému vektoru otočenému o náhodný úhel vzhledem k vektoru . Volba náhodného směru je ekvivalentní výběru náhodného bodu na jednotkové kružnici, která má zase nulovou plochu, proto je toto rozdělení singulární. $(1,0)$

Poznámky

↑ Singulární distribuce // Matematická encyklopedie : [v 5 svazcích] / Kap. vyd. I. M. Vinogradov . - M .: Sovětská encyklopedie, 1977-1985.
↑ 1 2 Feller V. Úvod do teorie pravděpodobnosti a její aplikace. - 2. vyd. - M .: Mir, 1964. - T. 2. - S. 177-179.