Systém rovnic

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 11. ledna 2022; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Systém rovnic je stav spočívající v současném provádění několika rovnic s ohledem na několik (nebo jednu) proměnných.

Notace

Formální obecný zápis může vypadat takto:

{\begin{cases}F_{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{M})=0\\F_{2}(x_{1},x_{2} ,\ldots ,x_{M})=0\\\ldots \\F_{N}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{M})=0\\\end{cases}}

Složená závorka znamená, že řešení musí splňovat každou rovnici. $(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{M})$

Řešením soustavy rovnic je uspořádaná množina čísel (hodnot proměnných), při jejich dosazení místo proměnných se každá z rovnic promění ve skutečnou rovnost .

Typy soustav rovnic

Algebraické rovnice:
- Systém lineárních algebraických rovnic
- Systém nelineárních rovnic
Diferenciální rovnice:
- Systém diferenciálních rovnic ( lineární / nelineární, obyčejné / parciální derivace )

Metody řešení

Existuje mnoho metod pro řešení soustavy rovnic. Přístup závisí na typu systému. Řešení soustav lineárních rovnic tak bylo plně prozkoumáno: našli analytické metody ( Cramerova metoda ) a navrhli několik numerických metod - jak exaktních (nejjednodušší - Gaussova metoda ), tak přibližných ( iterační metoda ).

Obecné analytické řešení systému nelineárních rovnic nebylo nalezeno. Existují pouze numerické metody.

K řešení soustav diferenciálních rovnic byla vyvinuta celá větev numerických metod .

Různá fakta

Jakýkoli systém rovnic nad reálnými čísly může být reprezentován jednou ekvivalentní rovnicí, pokud vezmete všechny rovnice ve tvaru , odmocníte je a sečtete je. $f_{i}(x)=0$
Obyčejnou diferenciální rovnici libovolného řádu lze zapsat jako systém dif. rovnice prvního řádu.