Systolická nerovnost

Systolická nerovnost - nerovnost následujícího tvaru

\operatorname {sys} M\leqslant c_{n}\cdot {\sqrt[{n}]{\operatorname {vol} M)),

kde je uzavřená - dimenzionální Riemannovská varieta v určité třídě, je délka nejkratší nestahovací uzavřené křivky na (tzv. systola ) a je její objem. $M$ $n$ $\operatorname {sys} M$ $M$ $M$ $\operatorname {vol} M$

Jako určitá třída se obvykle bere topologický typ variety, ale někdy se uvažuje například třída Riemannových variet konformně ekvivalentní dané třídě.

Pro mnoho topologických typů variet, například pro součin koule a kružnice, systolická nerovnost neplatí - jsou zapnuté Riemannovy metriky s libovolně malým objemem a libovolně dlouhou systolou. $\mathbb {S} ^{2}\times \mathbb {S} ^{1}$ $\mathbb {S} ^{2}\times \mathbb {S} ^{1}$

Příklady

Loewnerova nerovnost je optimální systolická nerovnost pro dvourozměrný torus s konstantní. $\mathbb {T} ^{2}$ ${\tfrac {\sqrt {2}}{\sqrt[{4}]{3}}}$
Pooova nerovnost je optimální systolická nerovnost pro skutečnou projektivní rovinu s konstantní . $\mathbb {R} \mathrm {P} ^{2}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\pi }{2))))$
Optimální konstanta je známá také pro Kleinovu láhev ; ona se rovná . [jeden] ${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {\pi }}{2^{3/4))))$
Systolická nerovnost platí pro metriky konformně ekvivalentní kanonické metrice na torusu a projektivním prostoru všech dimenzí. Navíc je dosaženo rovnosti pro kanonickou metriku.
Gromovova nerovnost pro základní odrůdy [2] $\operatorname {sys} M\leqslant c_{n}\cdot {\sqrt[{n}]{\operatorname {vol} M)),$
- Zejména systolická nerovnost platí pro všechny uzavřené povrchy kromě koule, stejně jako tori a projektivní prostory všech dimenzí.
- Je známo, že optimální konstanta nepřesahuje . [3] $c_n$ ${\sqrt[{n}]{n!)}}={\tfrac {n}{e}}+o(n)$
- Příklad projektivního prostoru s kanonickou metrikou dává dolní hranici na , která roste jako ; možná je to optimální konstanta. $c_n$ ${\sqrt {n}}$

Poznámky

↑ C. Bavard. "Inégalité isosystolique pour la bouteille de Klein". Matematika. Ann. 274,3 (1986), 439–441.
↑ Gromov, M. (1983), Filling Riemannian manifolds, J. Diff. Geom. T. 18: 1–147
↑ Alexander Nabutovsky, Lineární hranice pro konstanty v Gromovově systolické nerovnosti a související výsledky. arXiv : 1909.12225