Skalární pole (skalární funkce) na nějakém konečném-dimenzionálním prostoru je funkce , která spojuje každý bod z nějaké oblasti tohoto prostoru (domény) se skalárním , tedy skutečným nebo komplexním číslem . S pevným prostorovým základem může být skalární pole reprezentováno jako funkce několika proměnných, které jsou souřadnicemi bodu.
Rozdíl mezi numerickou funkcí několika proměnných a skalárním polem je v tom, že na jiné bázi se skalární pole jako funkce souřadnic mění tak, že pokud nová sada argumentů představuje stejný bod v prostoru na nové bázi, pak hodnota skalární funkce se nemění.
Pokud například v nějaké ortonormální bázi dvourozměrného vektorového prostoru má skalární funkce tvar, pak v jiné bázi otočené o 45 stupňů k této bázi, bude mít stejná funkce v nových souřadnicích tvar .
Nejčastěji jsou skalární funkce považovány za spojité nebo diferencovatelné (hladké) dostatečný počet časů (to znamená, že funkce musí patřit do ).
Mezi aplikace patří především:
Příklady skalárních polí ve 3D prostoru:
Příklady plochých (dvourozměrných) skalárních polí:
Skalární pole je obvykle chápáno jako pole, které je invariantní při transformacích souřadnic (někdy a často - pod určitou třídou transformací souřadnic, například při transformacích zachovávajících objem, ortogonálních transformacích atd.; ale neméně zřídka je to znamenalo neměnnost skalárního pole při libovolných transformacích souřadnic, omezenou snad jen hladkostí). (Viz skalární ).
V tomto smyslu není každá reálně hodnocená funkce souřadnic skalárním polem. Nejjednodušší příklad: v tomto smyslu jedna ze souřadnicových složek vektorového pole není skalární pole , protože při změně volby souřadnic (například při otáčení souřadnicových os) nezůstane nezměněna (tj. není to invariant transformací souřadnic).
Ve fyzice a mnoha dalších aplikacích pole, obecně řečeno, závisí také na čase [2] :
,zatímco operace na poli (jako je gradient ) jsou stále používány 3-rozměrně, to znamená, že navzdory přidání jedné další nezávislé proměnné je v podstatě pole považováno za pole v prostoru dimenze 3 a ne 4. Stejné úvahy se týkají případů, kdy pole závisí kromě prostorových souřadnic na některých dalších parametrech: tyto parametry lze explicitně uvést ve funkční závislosti, což však nemění rozměr hlavního prostoru, ve kterém je pole uvažováno. .
V moderní teoretické fyzice je obvyklé považovat čas výslovně za souřadnici formálně rovnou třem prostorovým [3] a souhrn prostoru a času je považován výslovně za jediný čtyřrozměrný prostor (nazývaný časoprostor ). Když tedy mluvíme o skalárním poli v moderní teoretické fyzice, ve výchozím nastavení znamenají pole na čtyřrozměrném prostoru nebo manifoldu , tj. funkci závislou na čtyřech formálně stejných souřadnicích:
(jedna z těchto čtyř souřadnic je rovna nebo úměrná času); navíc v tomto případě, pokud je použit termín skalární pole , znamená to také, že je Lorentzovo invariantní . Všechny operace pole (jako je gradient) se používají ve své 4D podobě.
V moderní teoretické fyzice je skalární pole obvykle chápáno (pokud jde o základní pole) jako základní pole Minkowského vesmírného skaláru ( Lorentzovo-invariantní pole) nebo pole, které je invariantní při obecných transformacích souřadnic (obvykle první a druhá se prakticky shoduje).
Praktickými synonymy pro pojem skalární pole v tomto smyslu jsou pojmy pole spin zero , spin zero částice , skalární částice (druhé, nicméně poněkud rozmělňující tyto blízké pojmy, se také nazývá excitace skalárního pole).
Jedinou experimentálně objevenou skalární částicí je Higgsův boson .
Skalární pole hrají důležitou roli v teoretických konstrukcích. Jejich přítomnost (společně s vektorovými a tenzorovými poli chápanými ve stejném smyslu a pozorovanými ve skutečnosti) je nezbytná pro úplnost klasifikace základních polí.
V nových fyzikálních teoriích (jako je například teorie strun ) se často zabývají prostory a varietami různých dimenzí, včetně poměrně vysokých (více než čtyři), a polí, včetně skalárních polí, na takových prostorech.
Skalární pole lze graficky znázornit pomocí rovných ploch (také nazývaných izoplochy).
Hladina skalárního pole je množina bodů v prostoru, ve kterých funkce u nabývá stejné hodnoty c , to znamená, že hladina je určena rovnicí . Obrázek sady rovinných ploch pro různé dává vizuální znázornění konkrétního skalárního pole, pro které jsou konstruovány (zobrazeny) [4] , navíc zobrazení rovinných ploch poskytuje určitý doplňkový geometrický nástroj pro práci s skalární pole, které lze použít pro výpočty, důkazové teorémy atd. Příklad: ekvipotenciální plocha .
Pro pole ve dvourozměrném prostoru je analogem rovného povrchu úrovňová čára . Příklady: izobata , izoterma , izohypsa (čára stejné výšky) na geografické mapě a další izočáry .
Úrovňové plochy pro skalární pole v prostoru vyšší dimenze jsou hyperplochy s dimenzí o jednu menší než je rozměr prostoru.
Směr nejrychlejšího nárůstu pole je indikován gradientním vektorem , označeným standardním způsobem:
,nebo jiný zápis:
,s komponenty:
.Zde je vzorec pro trojrozměrný případ, lze jej přímo a triviálně zobecnit na jiné dimenze.
Absolutní hodnota gradientového vektoru u je derivací u ve směru nejrychlejšího růstu (rychlost růstu u při pohybu jednotkovou rychlostí tímto směrem).
Přechod je vždy kolmý k rovinným plochám (ve 2D případě k rovinám). Výjimkou jsou singulární body pole, kde je gradient roven nule.
![]() | |
---|---|
V bibliografických katalozích |