Skalární pole

Skalární pole (skalární funkce) na nějakém konečném-dimenzionálním prostoru je funkce , která spojuje každý bod z nějaké oblasti tohoto prostoru (domény) se skalárním , tedy skutečným nebo komplexním číslem . S pevným prostorovým základem může být skalární pole reprezentováno jako funkce několika proměnných, které jsou souřadnicemi bodu. $PROTI$

Rozdíl mezi numerickou funkcí několika proměnných a skalárním polem je v tom, že na jiné bázi se skalární pole jako funkce souřadnic mění tak, že pokud nová sada argumentů představuje stejný bod v prostoru na nové bázi, pak hodnota skalární funkce se nemění.

Pokud například v nějaké ortonormální bázi dvourozměrného vektorového prostoru má skalární funkce tvar, pak v jiné bázi otočené o 45 stupňů k této bázi, bude mít stejná funkce v nových souřadnicích tvar . $f(v)=x^{2}+2y^{2},$ $f(v)=3x'^{2}+3y'^{2}-2x'y'$

Nejčastěji jsou skalární funkce považovány za spojité nebo diferencovatelné (hladké) dostatečný počet časů (to znamená, že funkce musí patřit do ). ${\displaystyle \mathbb {C} ^{m))$

Mezi aplikace patří především:

Funkce tří proměnných: (skalární pole na (v) trojrozměrném prostoru, někdy nazývané [1] prostorové pole). $u=u({\mathbf {r}})=u(x,y,z)$
Funkce dvou proměnných: (skalární pole na (v) dvourozměrném prostoru, někdy nazývané [1] ploché pole). $u=u({\mathbf {r}})=u(x,y)$

Příklady

Příklady skalárních polí ve 3D prostoru:

teplota (rozumí se, že obecně řečeno je v různých bodech prostoru různá);
elektrostatický potenciál ;
potenciál v newtonské teorii gravitace ;
tlakové pole v kapalném prostředí.

Příklady plochých (dvourozměrných) skalárních polí:

hloubka moře, vyznačená nějakým způsobem na ploché mapě;
hustota náboje na plochém povrchu vodiče.

Skalární pole je obvykle chápáno jako pole, které je invariantní při transformacích souřadnic (někdy a často - pod určitou třídou transformací souřadnic, například při transformacích zachovávajících objem, ortogonálních transformacích atd.; ale neméně zřídka je to znamenalo neměnnost skalárního pole při libovolných transformacích souřadnic, omezenou snad jen hladkostí). (Viz skalární ).

V tomto smyslu není každá reálně hodnocená funkce souřadnic skalárním polem. Nejjednodušší příklad: v tomto smyslu jedna ze souřadnicových složek vektorového pole není skalární pole , protože při změně volby souřadnic (například při otáčení souřadnicových os) nezůstane nezměněna (tj. není to invariant transformací souřadnic).

Skalární pole ve fyzice

Ve fyzice a mnoha dalších aplikacích pole, obecně řečeno, závisí také na čase [2] :

u=u(x,y,z,t)

zatímco operace na poli (jako je gradient ) jsou stále používány 3-rozměrně, to znamená, že navzdory přidání jedné další nezávislé proměnné je v podstatě pole považováno za pole v prostoru dimenze 3 a ne 4. Stejné úvahy se týkají případů, kdy pole závisí kromě prostorových souřadnic na některých dalších parametrech: tyto parametry lze explicitně uvést ve funkční závislosti, což však nemění rozměr hlavního prostoru, ve kterém je pole uvažováno. .

V moderní teoretické fyzice je obvyklé považovat čas výslovně za souřadnici formálně rovnou třem prostorovým [3] a souhrn prostoru a času je považován výslovně za jediný čtyřrozměrný prostor (nazývaný časoprostor ). Když tedy mluvíme o skalárním poli v moderní teoretické fyzice, ve výchozím nastavení znamenají pole na čtyřrozměrném prostoru nebo manifoldu , tj. funkci závislou na čtyřech formálně stejných souřadnicích:

u=u(x_{i})=u(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})

(jedna z těchto čtyř souřadnic je rovna nebo úměrná času); navíc v tomto případě, pokud je použit termín skalární pole , znamená to také, že je Lorentzovo invariantní . Všechny operace pole (jako je gradient) se používají ve své 4D podobě. $x_{i}$ $u$

V moderní teoretické fyzice je skalární pole obvykle chápáno (pokud jde o základní pole) jako základní pole Minkowského vesmírného skaláru ( Lorentzovo-invariantní pole) nebo pole, které je invariantní při obecných transformacích souřadnic (obvykle první a druhá se prakticky shoduje).

Praktickými synonymy pro pojem skalární pole v tomto smyslu jsou pojmy pole spin zero , spin zero částice , skalární částice (druhé, nicméně poněkud rozmělňující tyto blízké pojmy, se také nazývá excitace skalárního pole).

Jedinou experimentálně objevenou skalární částicí je Higgsův boson .

Skalární pole hrají důležitou roli v teoretických konstrukcích. Jejich přítomnost (společně s vektorovými a tenzorovými poli chápanými ve stejném smyslu a pozorovanými ve skutečnosti) je nezbytná pro úplnost klasifikace základních polí.

V nových fyzikálních teoriích (jako je například teorie strun ) se často zabývají prostory a varietami různých dimenzí, včetně poměrně vysokých (více než čtyři), a polí, včetně skalárních polí, na takových prostorech.

Rovný povrch

Skalární pole lze graficky znázornit pomocí rovných ploch (také nazývaných izoplochy).

Hladina skalárního pole je množina bodů v prostoru, ve kterých funkce u nabývá stejné hodnoty c , to znamená, že hladina je určena rovnicí . Obrázek sady rovinných ploch pro různé dává vizuální znázornění konkrétního skalárního pole, pro které jsou konstruovány (zobrazeny) [4] , navíc zobrazení rovinných ploch poskytuje určitý doplňkový geometrický nástroj pro práci s skalární pole, které lze použít pro výpočty, důkazové teorémy atd. Příklad: ekvipotenciální plocha . $u=u(x,y,z)$ $u(x,y,z)=c$ $C$

Pro pole ve dvourozměrném prostoru je analogem rovného povrchu úrovňová čára . Příklady: izobata , izoterma , izohypsa (čára stejné výšky) na geografické mapě a další izočáry .

Úrovňové plochy pro skalární pole v prostoru vyšší dimenze jsou hyperplochy s dimenzí o jednu menší než je rozměr prostoru.

Přechod

Směr nejrychlejšího nárůstu pole je indikován gradientním vektorem , označeným standardním způsobem: $u=u({\mathbf {r}})=u(x,y,z)$

{\mathbf {grad}}\ u

nebo jiný zápis:

\nabla u

s komponenty:

\left({\frac {\částečné u}{\částečné x)),\ {\frac {\částečné u}{\částečné y)),\ {\frac {\částečné u}{\částečné z))\ že jo)

Zde je vzorec pro trojrozměrný případ, lze jej přímo a triviálně zobecnit na jiné dimenze.

Pokud souřadnice nejsou kartézské (základ není ortonormální), je nezbytné poznamenat, že výše uvedené složky gradientu jsou kovariantní, to znamená, že gradient skalárního pole je pole covector. Pro ortonomní báze to není podstatné, protože pro ně lze pojmy vektor a covektor považovat za stejné, stejně jako kovariantní a kontravariantní souřadnice.

Absolutní hodnota gradientového vektoru u je derivací u ve směru nejrychlejšího růstu (rychlost růstu u při pohybu jednotkovou rychlostí tímto směrem).

Přechod je vždy kolmý k rovinným plochám (ve 2D případě k rovinám). Výjimkou jsou singulární body pole, kde je gradient roven nule.

Poznámky

↑ 1 2 Flatfield - Meteorologický slovník . Datum přístupu: 17. května 2012. Archivováno z originálu 15. února 2014. (neurčitý)
↑ Abychom v této části předešli zmatkům, budeme hovořit pouze o poli na trojrozměrném prostoru.
↑ Má to docela vážné důvody, které se scvrkají na fakt, že ve fyzice není možné provádět pouze formální transformace (tzv. Lorentzovy transformace , které lze charakterizovat jako časoprostorové rotace), mísení prostorových souřadnic s času, ale ukazuje se, že žádné fyzikální experimenty a pozorování, pokud dnes víme, nemohou odhalit rozdíly mezi rovnicemi fyziky zapsanými v jednom nebo druhém ze dvou vzájemně vůči sobě natočených časoprostorových souřadnicových systémů.
↑ "Obraz" takových povrchů je samozřejmě obecně trojrozměrný (plochy samotné jsou dvourozměrné, ale obecně řečeno ne ploché a nacházejí se v trojrozměrném prostoru), ale v jednoduchých případech může být snadno si představit[ co? ] a také nějakým způsobem vytvořit jednu nebo více 2D projekcí nebo částí takového 3D obrazu.

Literatura

Borisenko AI, Tarapov IE Vektorová analýza a principy tenzorového počtu. (nedostupný odkaz) 3rd ed. Moskva: Vyšší škola, 1966.
Goldfain IA Vektorová analýza a teorie pole. Moskva: Nauka, 1968.
Kochin N. E. Vektorový počet a počátky tenzorového počtu. 9. vyd. Moskva: Nauka, 1965.

Slovníky a encyklopedie	Velká Katalánština Velký Rus
V bibliografických katalozích	GND : 4181618-3 J9U : 987007558470805171