Perfektní kvádr

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 30. srpna 2021; kontroly vyžadují 4 úpravy .

Dokonalý kvádr [1] je pravoúhlý kvádr , ve kterém všech sedm základních veličin (tři hrany, úhlopříčky jeho ploch a úhlopříčka samotného kvádru) jsou přirozená čísla. Jinými slovy, dokonalý kvádr je řešením systému následujících diofantických rovnic v přirozených číslech:

{\begin{cases}a^{2}+b^{2}=d^{2},\\a^{2}+c^{2}=e^{2},\\b ^{2}+c^{2}=f^{2},\\a^{2}+b^{2}+c^{2}=g^{2}.\end{cases}}

Dosud není známo, zda takový rovnoběžnostěn existuje. Počítačovým výčtem nebyl nalezen žádný dokonalý kvádr s hranami do 3·10 12 [2] [1] . Bylo však nalezeno několik „téměř dokonalých“ rovnoběžnostěnů, ve kterých jsou všechna množství celá čísla, kromě jednoho:

$(672,153,104)$ jedna z úhlopříček plochy je neceločíselná.
$(18\,720,{\sqrt {211\,773\,121)),7800)$ , — jedna z hran je neceločíselná. $(520,576,{\sqrt {618\,849)))$
Velké množství Eulerových rovnoběžnostěnů (s neceločíselnou prostorovou úhlopříčkou, viz níže ).
Šikmé rovnoběžnostěny, ve kterých jsou všechny lineární rozměry celá čísla. V tomto případě stačí jeden nepravý úhel [3] [4] [5] .

Od září 2017 zahájil projekt distribuovaných počítačů yoyo@home hledání dokonalého kvádru [6]

Eulerův box

Obdélníkový rovnoběžnostěn, ve kterém pouze hrany a úhlopříčky ploch jsou celá čísla, se nazývá Euler. Nejmenší z Eulerových rovnoběžnostěnů - (240, 117, 44), s čelními úhlopříčkami 267, 244 a 125, našel Paul Halke v roce 1719 [1] . Několik dalších Eulerových rovnoběžnostěnů:

(275, 252, 240)
(693, 480, 140),
(720, 132, 85),
(792, 231, 160).

Euler popsal dvě rodiny Eulerových rovnoběžnostěnů (odtud název), které jsou dány vzorci podobnými těm pro pythagorejské trojice . Tyto rodiny nezahrnují všechny Eulerovy rovnoběžnostěny. Je známo, že mezi nimi nemůže být dokonalý kvádr [1] . Neexistuje úplný popis všech Eulerových rovnoběžnostěnů.

Jedna z rodin získaných Eulerem je dána vzorcem pro : $n>3$

a=n^{6}-15n^{4}+15n^{2}-1,b=6n^{5}-20n^{3}+6n,c=8n^{5}-8n

Pro Eulerův rovnoběžnostěn (a tedy pro dokonalý kvádr) jsou známy následující požadavky [7] :

Jedna hrana je dělitelná 4, druhá je dělitelná 16, třetí je lichá (pokud ovšem není primitivní - tedy gcd ( a ,  b ,  c ) = 1).
Jedna hrana je dělitelná 3 a druhá 9.
Jedna hrana je dělitelná 5.
Jedna hrana je dělitelná 11.

Existuje „nevzorec“ způsob, jak získat hodnoty stran „odvozeného“ Eulerova boxu na základě hodnot „rodičovského“ Eulerova boxu (8). K tomu jsou na obrázku vybrány tři trojúhelníky s celočíselnými hodnotami stran. Dále - ze získaných trojúhelníků výběrem hodnoty jejich kotangens - se určí pythagorejské trojice. Tyto trojice se zapisují do tabulky. Po obdržení křížového uspořádání v tabulce dvou hodnot (ze tří) pythagorejských trojic (pomocí určitého algoritmu matematických operací) se vypočítají hodnoty tří stran „odvozeného“ Eulerova rovnoběžnostěnu.

Viz také

Poznámky

↑ 1 2 3 4 Ian Stewart . Největší matematické problémy. - M . : Alpina literatura faktu, 2016. - S. 407. - 460 s. — ISBN 978-5-91671-507-1 .
↑ Bill Butler, Problém „Integer Brick“ archivován 30. srpna 2007 na Wayback Machine
↑ JF Sawyer, CA Reiter, Existují dokonalé rovnoběžnostěny Archivováno 6. července 2015 na Wayback Machine , Math. Comp. 80 (2011), čís. 274, str. 1037-1040.
↑ BD Sokolowsky, AG VanHooft, RM Volkert, CA Reiter, Nekonečná rodina dokonalých rovnoběžnostěnů Archivováno 6. července 2015 na Wayback Machine , Math. Comp. 83 (2014), čís. 289, str. 2441-2454.
↑ W. Wyss, On Perfect Cuboids , arXiv:1506.02215v2 Archivováno 23. ledna 2018 ve Wayback Machine [math.NT] 27. června 2015.
↑ yoyo@home . Staženo 22. ledna 2018. Archivováno z originálu 22. ledna 2018. (neurčitý)
↑ Primitive Euler Bricks Archived 24. února 2020 na Wayback Machine .