Konfokální kuželosečky

Konfokální kuželosečky - v geometrii kuželosečky , které mají stejná ohniska . Protože elipsy a hyperboly mají dvě ohniska, existují konfokální elipsy a konfokální hyperboly a elipsa a hyperboly mohou být navzájem konfokální. V případě, že je rodina elips konfokální k rodině hyperbol, každá elipsa ortogonálně protíná každou hyperbolu. Paraboly mají pouze jedno ohnisko, proto považujte za konfokální ty paraboly, které mají společné ohnisko a stejnou osu symetrie. Proto jakýkoli bod mimo osu symetrie leží na dvou konfokálních parabolách, které se vzájemně protínají v pravém úhlu.

Pojem konfokálních kuželoseček lze zobecnit na trojrozměrný prostor uvažováním konfokálních kvadrik .

Konfokální elipsy

Elipsa, která není kružnicí, je jednoznačně určena polohou ohnisek a bodem mimo hlavní osu. Svazek konfokálních elips s ohnisky lze popsat rovnicí ${\displaystyle F_{1},\;F_{2))$ $F_{1}=(c,0),\;F_{2}=(-c,0)$

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}-c^{2}}}=1\ , \quad a>c\ ,$

ve kterém je hlavní poloosa parametrem (ohnisková vzdálenost je jednoznačně určena umístěním ohnisek). Protože bod na elipse jednoznačně definuje hodnotu , pak $A$ $C$ $A$

žádné dvě elipsy v tužce nemají společné body.

Konfokální hyperboly

Hyperbola je jednoznačně určena polohou ohnisek a bodu mimo osy symetrie. Svazek konfokálních hyperbol s ohnisky lze popsat rovnicí ${\displaystyle F_{1},\;F_{2))$ $F_{1}=(c,0),\;F_{2}=(-c,0)$

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{c^{2}-a^{2}}}=1\ , \quad 0<a<c\ ,$

ve kterém je hlavní poloosa parametrem (ohnisková vzdálenost je jednoznačně určena umístěním ohnisek). Protože bod na hyperbole jednoznačně definuje hodnotu , pak $A$ $C$ $A$

žádné dvě hyperboly v tužce nemají společné body.

Konfokální elipsy a hyperboly

Rovnice

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}-c^{2}}}=1$

popisuje elipsu v a hyperbolu v . $c<a$ $0<a<c$

V literatuře můžete najít jinou verzi prezentace:

${\frac {x^{2}}{a^{2}-\lambda }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}-\lambda }}=1\ ,$

kde jsou poloosy dané elipsy (pak jsou dána i ohniska) a je parametr svazku. Pro , dostaneme konfokální elipsy (tj. ) a pro , dostaneme konfokální hyperboly s ohnisky . $a,b$ ${\displaystyle F_{1},\;F_{2))$ $\lambda$
$\lambda <b^{2}$ ${\displaystyle a^{2}-\lambda -(b^{2}-\lambda )=c^{2))$
$b^{2}<\lambda <a^{2}$ ${\displaystyle F_{1},\;F_{2))$

Úvaha o svazcích konfokálních elips a hyperbol vede k následujícímu závěru o tečně a normále v daném bodě (normálna k elipse a tečna k hyperbole půlí úhel mezi směry od bodu k ohniskům):

každá elipsa ve svazku protíná každou hyperbolu v pravém úhlu (viz obrázek).

Tak je možné pokrýt rovinu ortogonálním systémem konfokálních elips a hyperbol. Taková ortogonální síť může být použita jako základ eliptického souřadnicového systému .

Konfokální paraboly

Paraboly mají pouze jedno ohnisko. Parabolu lze považovat za hranici svazku konfokálních elips nebo hyperbol, ve kterých je jedno ohnisko pevné a druhé je odstraněno do nekonečna. Provedeme-li podobnou úvahu pro konfokální elipsy a hyperboly, lze získat systém dvou tužek konfokálních parabol.

Rovnice popisuje parabolu s počátkem v ohnisku, přičemž osa x je osou symetrie. Zvažte dva svazky parabol: $y^{2}=2p(x+p/2)=2px+p^{2}$

$y^{2}=2px+p^{2}\ ,\quad p>0\ ,$ paraboly, nekonečné doprava,

y^{2}=-2qx+q^{2}\ ,\quad q>0\ ,

paraboly, nekonečno doleva, zaměření je sdílené.

F=(0,0)

Z parabolické rovnice vyplývá, že

paraboly rozprostírající se v jednom směru nemají společné body.

To ukazují výpočty

jakákoli parabola , která se rozprostírá doprava, protíná každou parabolu , která se rozprostírá doleva ortogonálně. Průsečíky mají souřadnice . $y^{2}=2px+p^{2}$ $y^{2}=-2qx+q^{2}$ $({\tfrac {qp}{2)),\pm {\sqrt {pq)))\$

Vektory ( jsou normálové vektory v průsečících. Skalární součin těchto vektorů je roven nule. ${\vec {n}}_{1}=\left(p,\mp {\sqrt {pq}}\right)^{T},\ {\vec {n}}_{2}= \left(q,\pm {\sqrt {pq}}\right)^{T})$

Analogicky s konfokálními elipsami a hyperbolami lze rovinu pokrýt ortogonální sítí parabol.

Gravesova věta o konstrukci konfokálních elips

V roce 1850 irský biskup Charles Graves dokázal a publikoval následující metodu konstrukce konfokálních elips pomocí vlákna: [1]

obklopíme-li danou elipsu E prstencem ze závitu, který je delší než obrys dané elipsy, nakreslíme novou elipsu pomocí "jehel" fixovaných v ohniscích (viz konstrukce elipsy ), přičemž nová elipsa bude konfokální s E. Důkaz tohoto tvrzení vyžaduje použití eliptických integrálů . Otto Staude zobecnil tuto metodu pro konstrukci konfokálních elipsoidů.

Je-li elipsa E segment , pak elipsy k ní konfokální budou mít ohniska . $F_{1}F_{2}$ ${\displaystyle F_{1},F_{2))$

Konfokální plochy druhého řádu

Pojem konfokálních ploch druhého řádu je formálním zobecněním konceptu konfokálních kuželoseček na trojrozměrný prostor.

Vybereme tři reálná čísla pod podmínkou . Rovnice $a,b,c$ $a>b>c>0$

${\frac {x^{2}}{a^{2}-\lambda }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}-\lambda }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}-\lambda }}=1$ popisuje

elipsoid v,

\lambda <c^{2}

jednovrstvý hyperboloid at (modrá plocha na obrázku),

{\displaystyle c^{2}<\lambda <b^{2))

dvouvrstvý hyperboloid v .

b^{2}<\lambda <a^{2}

Když neexistují žádná řešení

a^{2}<\lambda

(Parametrem v této souvislosti není ohnisková vzdálenost elipsoidu). $C$

Podobně jako v případě konfokálních elips/hyperbol máme následující vlastnosti:

jakýkoli bod leží pouze na jednom povrchu každého ze tří typů konfokálních kvadrik; $(x_{0},y_{0},z_{0})\in \mathbb {R} ^{3}$ $x_{0}\neq 0,\;y_{0}\neq 0,\;z_{0}\neq 0$

tři plochy druhého řádu procházející bodem se protínají ortogonálně

(x_{0},y_{0},z_{0})

Důkaz existence a jednoznačnosti tří kvadrik procházejících daným bodem: pro bod v uvažujme funkci $(x_{0},y_{0},z_{0})$ $x_{0}\neq 0,y_{0}\neq 0,z_{0}\neq 0$

f(\lambda )={\frac {x_{0}^{2}}{a^{2}-\lambda }}+{\frac {y_{0}^{2}}{b^ {2}-\lambda }}+{\frac {z_{0}^{2}}{c^{2}-\lambda }}-1

Tato funkce má tři vertikální asymptoty a je spojitá a monotónně rostoucí ve všech intervalech . Analýza chování funkce v blízkosti vertikálních asymptot a at vede k závěru, že má tři kořeny at ${\displaystyle c^{2}<b^{2}<a^{2))$ $(-\infty ,c^{2}),\;(c^{2},b^{2}),\;(b^{2},a^{2}),\;( a^{2},\infty )$ $\lambda \to \pm \infty$ $F$ ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3))$ ${\color {red}\lambda _{1}}<c^{2}<{\color {red}\lambda _{2}}<b^{2}<{\color {red}\ lambda _{3}}<a^{2}\ .$

Důkaz ortogonality ploch: zvažte svazky funkcí s parametrem . Konfokální kvadriky lze popsat vztahem . Pro jakékoli dva protínající se kvadriky ve společném bodě je rovnost $F_{\lambda }(x,y,z)={\frac {x^{2}}{a^{2}-\lambda }}+{\frac {y^{2}}{b ^{2}-\lambda }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}-\lambda }}$ $\lambda$ $F_{\lambda }(x,y,z)=1$ $F_{\lambda _{i}}(x,y,z)=1,\;F_{\lambda _{k}}(x,y,z)=1$ $(x,y,z)$

0=F_{\lambda _{i}}(x,y,z)-F_{\lambda _{k}}(x,y,z)=\dotsb =(\lambda _{i}- \lambda _{k})\left({\frac {x^{2}}{(a^{2}-\lambda _{i})(a^{2}-\lambda _{k})} }+{\frac {y^{2}}{(b^{2}-\lambda _{i})(b^{2}-\lambda _{k)))))+{\frac {z ^ {2}}{(c^{2}-\lambda _{i})(c^{2}-\lambda _{k})}}\right)\ .

Proto skalární součin gradientů ve společném bodě

\operatorname {grad} F_{\lambda _{i}}\cdot \operatorname {grad} F_{\lambda _{k}}=4\;\left({\frac {x^{2}} {(a^{2}-\lambda _{i})(a^{2}-\lambda _{k})}}+{\frac {y^{2}}{(b^{2}- \lambda _{i})(b^{2}-\lambda _{k})}}+{\frac {z^{2}}{(c^{2}-\lambda _{i})( c^{2}-\lambda _{k})}}\right)=0\ ,

což dokazuje ortogonalitu.

Aplikace.
Podle teorému Ch. Dupina o ortogonálních systémech ploch jsou pravdivá následující tvrzení:

čára průsečíku jakýchkoli dvou konfokálních povrchů druhého řádu je čára zakřivení ;
analogicky s eliptickými souřadnicemi lze zavést elipsoidní souřadnice .

Ve fyzice jsou konfokální elipsoidy ekvipotenciální povrchy:

ekvipotenciální plochy nabitého elipsoidu jsou konfokální k danému elipsoidu. [2]

Ivoryho věta

Ivoryho věta , pojmenovaná po skotském matematikovi Jamesi Ivorym (1765–1842), je tvrzení o úhlopříčkách čtyřúhelníku tvořeného ortogonálními křivkami.

V každém čtyřúhelníku tvořeném dvěma konfokálními elipsami a dvěma konfokálními hyperbolami se stejnými ohnisky jsou úhlopříčky stejně dlouhé.

Průsečíky elipsy a konfokální hyperboly
Nechť je elipsa s ohnisky danými rovnicí $E(a)$ $F_{1}=(c,0),\;F_{2}=(-c,0)$

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}-c^{2}}}=1\ , \quad a>c>0,\

a je konfokální hyperbola s rovnicí $H(u)$

{\frac {x^{2}}{u^{2}}}+{\frac {y^{2}}{u^{2}-c^{2}}}=1\ , \quad c>u\ .

Vypočítejte průsečíky a uveďte souřadnice čtyř bodů $E(a)$ $H(u)$

$\left(\pm {\frac {au}{c)),\;\pm {\frac {\sqrt {(a^{2}-c^{2})(c^{2}- u^{2})}}{c}}\right).$

Úhlopříčky čtyřúhelníku
Pro zjednodušení výpočtů předpokládejme, že

$c=1$ , což není významné omezení, protože je možné škálování;
při výběru značky (viz část o průsečíkech) budeme uvažovat pouze . Je snadné ukázat, že volba jiného znamení povede ke stejnému výsledku. $\odpoledne$ $+$

Nechť jsou konfokální elipsy a konfokální hyperboly se stejnými ohnisky. Úhlopříčky čtyřúhelníku tvořené průsečíky se souřadnicemi $E(a_{1}),E(a_{2})$ $H(u_{1}),H(u_{2})$

P_{11}=\left(a_{1}u_{1},\;{\sqrt {(a_{1}^{2}-1)(1-u_{1}^{2}) }}\right)\ ,\quad P_{22}=\left(a_{2}u_{2},\;{\sqrt {(a_{2}^{2}-1)(1-u_{2 }^{2})}}\vpravo)\ ,

P_{12}=\left(a_{1}u_{2},\;{\sqrt {(a_{1}^{2}-1)(1-u_{2}^{2}) }}\right)\ ,\quad P_{21}=\left(a_{2}u_{1},\;{\sqrt {(a_{2}^{2}-1)(1-u_{1 }^{2})}}\right)

mít délky

{\begin{aligned}|P_{11}P_{22}|^{2}&=(a_{2}u_{2}-a_{1}u_{1})^{2}+\ left({\sqrt {(a_{2}^{2}-1)(1-u_{2}^{2})}}-{\sqrt {(a_{1}^{2}-1)( 1-u_{1}^{2})}}\right)^{2}=\dotsb \\&=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+u_{1}^ {2}+u_{2}^{2}-2\,\left(1+a_{1}a_{2}u_{1}u_{2}+{\sqrt {(a_{1}^{2 }-1)(a_{2}^{2}-1)(1-u_{1}^{2})(1-u_{2}^{2})}}\right)\end{aligned} }

Poslední výraz je invariantní vzhledem k nahrazení . Takové nahrazení vede k výrazu pro délku . Proto ta rovnost $u_{1}\leftrightarrow u_{2}$ $|P_{1\color {red}2}P_{2\color {red}1}|^{2}$

$|P_{11}P_{22}|=|P_{12}P_{21}|$

Důkazem tvrzení pro konfokální paraboly je jednoduchý výpočet.

Ivory také dokázala teorém pro trojrozměrný případ:

v trojrozměrném pravoúhlém rovnoběžnostěnu tvořeném konfokálními kvadrikami mají úhlopříčky spojující protilehlé body stejnou délku.

Poznámky

↑ Felix Klein: Vorlesungen über Höhere Geometrie , Sringer-Verlag, Berlín, 1926, S.32.
↑ D. Fuchs, S. Tabachnikov: Ein Schaubild der Mathematik. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-12959-9 , str. 480.

Literatura

W. Blaschke : Analytische Geometrie. Springer, Basilej 1954, ISBN 978-3-0348-6813-6 , str. 111.
G. Glaeser, H. Stachel, B. Odehnal: Vesmír kuželoseček: Od starých Řeků k vývoji 21. století , Springer Spektrum, ISBN 978-3-662-45449-7 , str. 457.
David Hilbert & Stephan Cohn-Vossen (1999), Geometrie a imaginace , Americká matematická společnost, ISBN 0-8218-1998-4
Ernesto Pascal: Repertorium der höheren Mathematik. Teubner, Lipsko/Berlín 1910, str. 257.
A. Robson: Úvod do analytické geometrie Vo. I, Cambridge, University Press, 1940, str. 157.
DMY Sommerville: Analytical Geometry of Three Dimensions , Cambridge, University Press, 1959, str. 235.

Odkazy

T. Hofmann: Miniscript Differentialgeometrie I, str. 48
B. Springborn: Kurven und Flächen , 12. Vorlesung: Konfokale Quadriken (S. 22 f.).
H. Walser: Konforme Abbildungen. p. osm.