Eliptický souřadnicový systém

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 4. února 2018; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Eliptické souřadnice jsou dvourozměrný ortogonální souřadnicový systém, ve kterém jsou souřadnicové čáry konfokální elipsy a hyperboly . Pro dvě ohniska se obvykle berou body a na osách kartézského souřadnicového systému . $F_{1}$ $F_{2}$ $-c$ $+c$ $X$

Základní definice

Eliptické souřadnice jsou obvykle definovány pravidlem: $(\mu ,\;\nu )$

\left\{{\begin{matrix}x=c\,\mathrm {ch} \,\mu \cos \nu \\y=c\,\mathrm {sh} \,\mu \sin \ nu \end{matrix}}\vpravo.

kde ,. _ $\mu \geqslant 0$ $\nu \in [0,\;2\pi )$

To definuje rodinu konfokálních elips a hyperbol. Trigonometrická identita

{\frac {x^{2}}{c^{2}\,\mathrm {ch} ^{2}\,\mu }}+{\frac {y^{2}}{c^ {2}\,\mathrm {sh} ^{2}\,\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1

ukazuje, že úrovňové čáry jsou elipsy a identita z hyperbolické geometrie $\mu$

{\frac {x^{2}}{c^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {y^{2}}{c^{2}\sin ^{ 2}\nu }}=\mathrm {ch} ^{2}\,\mu -\mathrm {sh} ^{2}\,\mu =1

ukazuje, že úrovňové čáry jsou hyperboly . $\nu$

Lame koeficienty

Lameho koeficienty pro eliptické souřadnice jsou $(\mu ,\;\nu )$

H_{\mu }=H_{\nu }=c{\sqrt {(\mathrm {ch} \,\mu \,\sin \,\nu )^{2}+(\mathrm {sh} \,\mu \,\cos \,\nu )^{2}}}=c{\sqrt {\mathrm {sh} ^{2}\,\mu +\sin ^{2}\nu }}.

Identity pro dvojitý úhel nám umožňují přenést je do formy

H_{\mu }=H_{\nu }=c{\sqrt {{\frac {1}{2}}(\mathrm {ch} \,2\mu -\cos 2\nu }}) .

Prvek oblasti je:

dS=c^{2}(\mathrm {sh} ^{2}\,\mu +\sin ^{2}\nu )\,d\mu \,d\nu ,

a Laplacian je

\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{c^{2}(\mathrm {sh} ^{2}\,\mu +\sin ^{2}\nu ))) \left({\frac {\částečné ^{2}\Phi }{\částečné \mu ^{2))}+{\frac {\částečné ^{2}\Phi }{\částečné \nu ^{2} }}\že jo).

Jiné diferenciální operátory lze získat dosazením Lamého koeficientů do obecných vzorců pro ortogonální souřadnice. Například gradient skalárního pole je napsán: $\Phi (\mu ,\;\nu )$

\mathrm {grad} \,\Phi ={\frac {1}{H_{\mu }}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \mu }}\mathbf {e} _{ \mu }+{\frac {1}{H_{\nu }}}{\frac {\částečný \Phi }{\částečný \nu }}\mathbf {e} _{\nu },

kde

\mathbf {e} _{\mu }=c(\mathrm {sh} \,\mu \cos \nu ,\,\mathrm {ch} \,\mu \sin \nu )

\mathbf {e} _{\nu }=c(-\mathrm {ch} \,\mu \sin \nu ,\,\mathrm {sh} \,\mu \cos \nu )

Jiná definice

Někdy se používá další geometricky intuitivnější definice eliptických souřadnic : $(\sigma ,\;\tau )$

\left\{{\begin{matrix}\sigma =\mathrm {ch} \,\mu \\\tau =\cos \nu \end{matrix}}\right.

Úrovňové čáry jsou tedy elipsy a úrovňové čáry jsou hyperboly. V čem $\sigma$ $\tau$

\tau \in [-1,\;1],\quad \sigma \geqslant 1.

Souřadnice mají jednoduchý vztah se vzdálenostmi k ohniskům a . Pro jakýkoli bod na rovině $(\sigma ,\;\tau )$ $F_{1}$ $F_{2}$

\left\{{\begin{matrix}d_{1}+d_{2}=2c\sigma \\d_{1}-d_{2}=2c\tau \end{matrix}}\right.

kde jsou vzdálenosti k ohniskům , resp. ${\displaystyle d_{1},\;d_{2))$ ${\displaystyle F_{1},\;F_{2))$

Takto:

\left\{{\begin{matrix}d_{1}=c(\sigma +\tau )\\d_{2}=c(\sigma -\tau )\end{matrix}}\right.

Připomeňme, že a jsou umístěny v bodech a resp. $F_{1}$ $F_{2}$ $x=-c$ $x=+c$

Nevýhodou tohoto souřadnicového systému je, že nemapuje jednu ku jedné na kartézské souřadnice:

\left\{{\begin{matrix}x=c\sigma \tau \\y^{2}=c^{2}(\sigma ^{2}-1)(1-\tau ^{ 2})\end{matrix}}\right.

Lame koeficienty

Lameho koeficienty pro alternativní eliptické souřadnice jsou: $(\sigma ,\;\tau )$

h_{\sigma }=c{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2)){\sigma ^{2}-1))};

h_{\tau }=c{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{1-\tau ^{2}}}}.

Plošný prvek je

dA=c^{2}{\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2)){\sqrt {(\sigma ^{2}-1)(1-\tau ^{2 })}}}\,d\sigma \,d\tau ,

a Laplacian je

\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{c^{2}(\sigma ^{2}-\tau ^{2})))\left[{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\frac {\partial \Phi }{\ částečný \sigma }}\right)+{\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\sqrt {1-\tau ^{ 2))}{\frac {\částečný \Phi }{\částečný \tau }}\vpravo)\vpravo].

Jiné diferenciální operátory lze získat dosazením Lamého koeficientů do obecných vzorců pro ortogonální souřadnice.

Literatura

Korn G., Korn T. Příručka matematiky (pro vědce a inženýry). - M. : Nauka, 1974. - 832 s.

Viz také

Apolloniův obvod

Souřadnicové systémy
Název souřadnic	Úsečka Ordinovat Nášivka
Typy souřadnicových systémů	Přímočarý souřadnicový systém Křivočarý souřadnicový systém
2D souřadnice	Dvojúhelníkové souřadnice Bicentrické souřadnice Hyperbolické souřadnice Polární souřadnice Bipolární souřadnice Parabolické souřadnice Eliptické souřadnice Tetracyklické souřadnice Trilineární souřadnice
3D souřadnice	Válcové souřadnice Sférické souřadnice Bisférické souřadnice Toroidní souřadnice Válcové parabolické souřadnice Bicylindrické souřadnice Elipsoidní souřadnice Kuželové souřadnice Pentasférické souřadnice Dipolární souřadnicový systém
$n$ -rozměrné souřadnice	Kartézské souřadnice Afinní souřadnice Projektivní souřadnice Plückerovy souřadnice barycentrické souřadnice
Fyzické souřadnice	Rindlerovy souřadnice Rodné souřadnice Nebeský souřadnicový systém Zeměpisné souřadnice Hlavní ortodromický souřadnicový systém
Související definice	Souřadnicová metoda Původ Souřadnicová osa Vektor Orth referenční systém Benchmark Kulhavé koeficienty Metrický tenzor