Toroidní souřadnicový systém

Toroidní souřadnicový systém je ortogonální souřadnicový systém v prostoru, jehož souřadnicovými plochami jsou tori, koule a poloroviny. Tento souřadnicový systém lze získat otáčením dvourozměrného bipolárního souřadnicového systému kolem osy stejně vzdálené od ohnisek bipolárního systému.

Definice

Vztah s kartézskými souřadnicemi

Toroidní souřadnicový systém je definován vzorci pro přechod z těchto souřadnic do kartézských souřadnic : $(\alpha ,\beta ,\varphi )$

x={\frac {c\,\mathrm {sh} \,\alpha \cos \varphi }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta ))\quad \quad y={ \frac {c\,\mathrm {sh} \,\alpha \sin \varphi }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}\quad \quad z={\frac {c\sin \beta }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}

kde je měřítko a poloměr kružnice, do které degeneruje povrch toroidních souřadnic v . Meze změny souřadnic . Při otočení do nekonečna na zadané kružnici má sklon k nule v nekonečnu, stejně jako v jakémkoli bodě na ose . Další dvě souřadnice jsou cyklické s tečkou , lze si například vybrat $c>0$ $x^{2}+y^{2}=c^{2},z=0$ $\alpha =\alpha _{0}=\mathrm {const}$ $\alpha _{0}\rightarrow \infty$ $0\leqslant \alpha <\infty$ $x=0,\,y=0$ $2\pi$ $-\pi <\beta \leqslant \pi ,-\pi <\varphi \leqslant \pi$

Vztah s cylindrickými souřadnicemi

Vzorce pro přechod z toroidních souřadnic na válcové souřadnice : $(\alpha (z,r),\beta (z,r),\varphi )$ $(z,r,\varphi )$

r={\frac {c\,\mathrm {sh} \,\alpha }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}\quad \quad z={\frac {c \sin \beta }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )).

Pro zpětnou transformaci se známými válcovými souřadnicemi body vypočítají hodnoty - maximální a minimální vzdálenost od daného bodu ke kružnici , přes kterou jsou pak vyjádřeny $(z,r,\varphi )$ $R_{\pm }={\sqrt {r^{2}+z^{2}\pm 2cr))$ $r=c,\,z=0$

\kappa ^{2}(\alpha )=1-e^{-2\alpha }={\frac {4rc}{R_{+}^{2}}},\qquad \kappa ^{\ prvočíslo }=e^{-\alpha }={\frac {R_{-}}{R_{+}}},\qquad \sin \beta ={\frac {2zc}{R_{-}R_{+} }}

Alternativní definice

V ruskojazyčné literatuře mohou být jednodušší souřadnice také nazývány toroidními , takže: $(\rho ,\beta ,\varphi )$

z=\rho \,\mathrm {sin} \,\beta \quad r=c+\rho \,\mathrm {cos} \,\beta

(v anglické literatuře se takové souřadnice nazývají anglicky tubal , a nikoli anglicky toroidal ). V tomto případě se cyklické souřadnice nazývají poloidální a toroidní úhly. Kromě těchto termínů se kromě těchto termínů používá také termín „magnetická osa“ pro kruh , na kterém . V blízkosti magnetické osy se souřadnice pro oba systémy přibližně shodují a souřadnice a spolu souvisí vztahem: . Lze také zavést souřadnice křivočarého proudění [1] , ve kterých jsou souřadnicovými plochami topologicky toroidní magnetické plochy (na kterých je tlak plazmatu konstantní a normálová složka magnetického pole je rovna nule. V tomto případě je analogem proměnné nebo souřadnice „toku“ slouží pouze jako „značka“ magnetické plochy a její číselná hodnota je nevýznamná. $\beta ,\,\varphi$ $r=c,\,z=0$ $\rho =0$ $\beta$ $\rho \equiv R_{-}$ $u$ $2\kappa ^{\prime }(u)\přibližně \rho /c$ $\alpha$ $\rho$

Vlastnosti

Souřadnicové plochy

$\alpha =\mathrm {const}$ — tori

({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-c\,\mathrm {cth} \,\alpha )^{2}+z^{2}=\left({ \frac {c}{\mathrm {sh} \,\alpha }}\right)^{2}

$\beta =\mathrm {const}$ - koule

(zc\,\mathrm {ctg} \,\beta )^{2}+x^{2}+y^{2}=\left({\frac {c}{\sin \beta )) \right)^{2}

$\varphi =\mathrm {const}$ - pololetadla

{\frac {x}{\cos \varphi }}={\frac {y}{\sin \varphi }}

Diferenciální charakteristiky

Metrický tenzor v toroidních souřadnicích má tvar:

g_{ij}={\begin{pmatrix}{\frac {c^{2}}{(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{2}}}&0&0\\ 0&{\frac {c^{2}}{(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{2}}}&0\\0&0&{\frac {c^{2}\mathrm { sh} ^{2}\alpha }{(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{2}}}\end{pmatrix}},\quad g^{ij}={\begin {pmatrix}{\frac {(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{2}}{c^{2}}}&0&0\\0&{\frac {(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{2}}{c^{2}}}&0\\0&0&{\frac {(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{2 }}{c^{2}\,\mathrm {sh} ^{2}\,\alpha }}\end{pmatrix}}.

Je diagonální, protože toroidní souřadnicový systém je ortogonální .

Čtverec čárového prvku:

ds^{2}={\frac {c^{2}}{(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{2}}}(d\alpha ^{2} +d\beta ^{2}+\mathrm {sh} ^{2}\alpha \,d\varphi ^{2})

Čtverec plošného prvku:

dS^{2}={\frac {c^{4}}{(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{4}}}((d\alpha \,d \beta )^{2}+\mathrm {sh} ^{2}\alpha (d\alpha \,d\varphi )^{2}+\mathrm {sh} ^{2}\alpha (d\beta \ ,d\varphi )^{2})

Prvek objemu:

dV={\frac {c^{3}\mathrm {sh} \,\alpha }{(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{3))}d\alpha \,d\beta \,d\varphi

Lame koeficienty :

h_{\alpha }=h_{\beta }={\frac {c}{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )),\quad h_{\varphi }={\frac {c\,\mathrm {sh} \,\alpha }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta ))

Jakobián :

{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\alpha ,\beta ,\varphi )))={\frac {c^{3}\mathrm {sh} \,\ alfa }{(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{3}}}

Christoffelovy symboly druhého druhu:

\Gamma _{ij}^{1}={\begin{pmatrix}0&-{\frac {\sin \beta }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta ))&0\ \-{\frac {\sin \beta }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}&{\frac {\mathrm {sh} \,\alpha }{\mathrm {ch} \ ,\alpha -\cos \beta ))&0\\0&0&{\frac {\mathrm {sh} \,\alpha (\mathrm {ch} \,\alpha \cos \beta -1)}{\mathrm {ch } \,\alpha -\cos \beta }}\end{pmatrix}},

\Gamma _{ij}^{2}={\begin{pmatrix}{\frac {\sin \beta }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta ))&-{\ frac {\mathrm {sh} \,\alpha }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta ))&0\\-{\frac {\mathrm {sh} \,\alpha }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta ))&0&0\\0&0&{\frac {\mathrm {sh} ^{2}\alpha \sin \beta }{\mathrm {ch} \,\alpha -\ cos \beta }}\end{pmatrix}},

\Gamma _{ij}^{3}={\begin{pmatrix}0&0&-{\frac {1}{(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )\mathrm {sh} ^{2}\alpha }}\\0&0&-{\frac {\sin \beta }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}\\-{\frac {1}{(\ mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )\mathrm {sh} ^{2}\alpha }}&-{\frac {\sin \beta }{\mathrm {ch} \,\alpha -\ cos \beta }}&0\end{pmatrix}}.

Forma diferenciálních operátorů v toroidních souřadnicích

Gradient skalární funkce v toroidních souřadnicích je dán následujícím výrazem:

\operatorname {grad} \,U(\alpha ,\;\beta ,\;\varphi )={\frac {\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }{c))\ vlevo({\frac {\částečné U}{\částečné \alpha }}{\vec {e}}_{\alpha }+{\frac {\částečné U}{\částečné \beta }}{\vec {e }}_{\beta }+{\frac {1}{\mathrm {sh} \,\alpha }}{\frac {\částečné U}{\částečné \varphi }}{\vec {e}}_{ \varphi }\vpravo).

Divergence vektorového pole :

\ \operatorname {div} \mathbf {F} ={\frac {(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{2}}{c^{2}\,\mathrm {sh} \,\alpha }}\left({\frac {\částečné F_{\alpha }}{\částečné \alpha }}+{\frac {\částečné F_{\beta }}{\částečné \beta } }+\,\mathrm {sh} \,\alpha {\frac {\částečné F_{\varphi }}{\částečné \varphi }}\right)-{\frac {\mathrm {ch} \,\alpha - \cos \beta }{c^{2}\,\mathrm {sh} \,\alpha }}(F_{\alpha }\,\mathrm {sh} \,\alpha -F_{\beta }\sin \ beta)

Laplaceův operátor :

\Delta u={\frac {(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{3}}{c^{2}\,\mathrm {sh} \,\alpha } }\left({\frac {\partial }{\partial \alpha }}\left({\frac {\,\mathrm {sh} \,\alpha }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )){\frac {\partial u}{\partial \alpha }}\right)+{\frac {\partial }{\partial \beta }}\left({\frac {\,\mathrm {sh } \,\alpha }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}{\frac {\částečné u}{\částečné \beta }}\right)+{\frac {1}{( \mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )\,\mathrm {sh} \,\alpha }}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \varphi ^{2}} }\že jo)

Diferenciální rovnice v toroidních souřadnicích

Laplaceova rovnice v toroidních souřadnicích má tvar:

\left({\frac {\partial }{\partial \alpha ))\left({\frac {\,\mathrm {sh} \,\alpha }{\mathrm {ch} \,\alpha - \cos \beta }}{\frac {\partial u}{\partial \alpha }}\right)+{\frac {\partial }{\partial \beta }}\left({\frac {\,\mathrm {sh} \,\alpha }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}{\frac {\částečné u}{\částečné \beta }}\right)+{\frac {1} {(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )\,\mathrm {sh} \,\alpha }}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \varphi ^{2 }}}\right)=0

Řešení se pohodlně hledá ve tvaru:

u=v{\sqrt {2\mathrm {ch} \alpha -2\cos \beta ))

pak rovnice pro funkci je: $proti$

v_{\alpha \alpha }+v_{\beta \beta }+v_{\alpha }\mathrm {cth} \,\alpha +{\frac {1}{4}}v+{\frac {1 }{\mathrm {sh} ^{2}\alpha }}v_{\varphi \varphi }=0

Poté můžete oddělit proměnné:

v=A(\alpha )B(\beta )\Phi (\varphi )

Výsledkem je systém:

{\begin{cases}A''+\,\mathrm {cth} \,\alpha \,A'+\left({\frac {1}{4))-{\frac {k_{\ varphi }^{2}}{\mathrm {sh} ^{2}\alpha }}-k_{\beta }^{2}\right)A=0\\B''+k_{\beta }^{ 2}B=0\\\Phi ''+k_{\varphi }^{2}\Phi =0\end{cases}}

V případě Helmholtzovy rovnice v toroidních souřadnicích se proměnné nedělí.

Poznámky

↑ Shafr98, 1998 .

Literatura

Korn G., Korn T. Kapitola 6. Systémy křivočarých souřadnic. 6.5 Vzorce pro ortogonální souřadnicové systémy // Příručka matematiky (pro vědce a inženýry). - M. : Nauka, 1973. - S. 195. - 832 s.
Mors F. M., Feshbakh G. Kapitola 5. Obyčejné diferenciální rovnice. Tabulka oddělovacích souřadnic pro tři rozměry // Metody teoretické fyziky. - M . : Nakladatelství zahraniční literatury, 1958. - T. 1. - S. 622. - 930 s.
Tichonov A.N., Samarsky A.A. Část IV. Vzorce, tabulky, grafy. IV. Různé ortogonální souřadnicové systémy // Rovnice matematické fyziky. - 7. vyd. - M . : Nakladatelství Moskevské státní univerzity; Science, 2004. - S. 732-733. — 798 s. — ISBN 5-211-04843-1 .

V. D. Šafranov . Toroidní systémy // Fyzikální encyklopedie / Ch. vyd. A. M. Prochorov . - M . : Velká ruská encyklopedie , 1998. - V. 5: Stroboskopické přístroje - Jas. — 760 s. — ISBN 5-85270-101-7 .

Odkazy

Weisstein, Eric W. Toroidal Coordinates (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .

Souřadnicové systémy
Název souřadnic	Úsečka Ordinovat Nášivka
Typy souřadnicových systémů	Přímočarý souřadnicový systém Křivočarý souřadnicový systém
2D souřadnice	Dvojúhelníkové souřadnice Bicentrické souřadnice Hyperbolické souřadnice Polární souřadnice Bipolární souřadnice Parabolické souřadnice Eliptické souřadnice Tetracyklické souřadnice Trilineární souřadnice
3D souřadnice	Válcové souřadnice Sférické souřadnice Bisférické souřadnice Toroidní souřadnice Válcové parabolické souřadnice Bicylindrické souřadnice Elipsoidní souřadnice Kuželové souřadnice Pentasférické souřadnice Dipolární souřadnicový systém
$n$ -rozměrné souřadnice	Kartézské souřadnice Afinní souřadnice Projektivní souřadnice Plückerovy souřadnice barycentrické souřadnice
Fyzické souřadnice	Rindlerovy souřadnice Rodné souřadnice Nebeský souřadnicový systém Zeměpisné souřadnice Hlavní ortodromický souřadnicový systém
Související definice	Souřadnicová metoda Původ Souřadnicová osa Vektor Orth referenční systém Benchmark Kulhavé koeficienty Metrický tenzor