Stacionární poruchová teorie v kvantové mechanice

Stacionární poruchová teorie v kvantové mechanice je poruchová teorie , kde Hamiltonián nezávisí na čase. Teorii vytvořil Schrödinger v roce 1926.

Teorie je použitelná pro dostatečně slabé poruchy: , přičemž parametr musí být tak malý, aby porucha příliš nezkreslila nerušené spektrum . $H = H_0 + \lambda H_1$ $\lambda$ $H^0$

Nedegenerované spektrum

V poruchové teorii je řešení reprezentováno jako expanze

|n\rangle = |n^0\rangle + \lambda |n^1\rangle +\lambda^2 |n^2\rangle+...,

E_n = E^0_n+\lambda E^1_n + \lambda^2 E^2_n+...

Schrödingerova rovnice samozřejmě musí platit :

H|n\rangle = E_n|n\rangle.

Dosazením expanze do této rovnice dostaneme

(H_0+\lambda H_1)(|n^0\rangle + \lambda |n^1\rangle + \lambda^2 |n^2\rangle +...) =

(E^0_n + \lambda E^1_n + \lambda^2 E^2_n + ... ) ( |n^0\rangle + \lambda |n^1\rangle + \lambda^2 |n^2\rangle +...)

Sbíráním členů stejného řádu v , získáme posloupnosti rovnic $\lambda$

H_0 |n^0\rangle = E^0_n|n^0\rangle,

H_0 |n^1\rangle + H_1 |n^0\rangle = E^0_n |n^1\rangle + E^1_n|n^0\rangle,

H_0 |n^2\rangle + H_1 |n^1\rangle = E^0_n |n^2\rangle + E^1_n |n^1\rangle + E^2_n |n^0\rangle.

atd. Tyto rovnice je třeba řešit postupně, abychom získali a . Indexový člen je řešením nerušené Schrödingerovy rovnice, takže se také mluví o „aproximaci nultého řádu“. Podobně se mluví o „aproximaci k-tého řádu“, pokud je řešení počítáno až do členů a . $E^k_n$ $n^k$ $k = 0$ $E^k_n$ $n^k$

Z druhé rovnice dostáváme, že je možné jednoznačně určit řešení pro pouze s dalšími podmínkami, protože každá lineární kombinace je řešením. Nabízí se otázka normalizace. Můžeme předpokládat, že , ale zároveň normalizace přesného řešení implikuje . Pak v prvním řádu (vzhledem k parametru λ) pro normalizační podmínku musíme nastavit . Protože výběr fáze v kvantové mechanice je libovolný, lze bez ztráty obecnosti říci, že číslo je skutečné. Proto a v důsledku toho uložená dodatečná podmínka bude mít podobu: $n^1$ $n^1$ $n^0$ $\langle n^0|n^0\rangle = 1$ $\langle n|n\rangle = 1$ $\langle n^0|n^1\rangle +\langle n^1|n^0\rangle=0$ $\langle n^0|n\rangle$ $\langle n^{0}|n^{1}\rangle =-\langle n^{0}|n^{1}\rangle$