Sub-riemannovské potrubí

Sub-Riemannian manifold je matematický koncept, který zobecňuje Riemannian manifold . Podstatou zobecnění je, že skalární součin není definován na celých tečných prostorech , ale pouze na některých jejich podprostorech (obvykle pevné dimenze).

V sub-Riemannově varietě tedy pojem délky není definován pro všechny křivky , ale pouze pro takzvané horizontální křivky (ty, které se v každém bodě dotýkají odpovídajícího podprostoru). Vlastní metrika náhradníka-Riemannian různý tak vyvstávat se nazývá Carnot-Carathéodory metrika .

Definice

Nechť je hladká varieta dimenze , na které je dáno hladké rozložení dimenze , tj. v každém bodě je dán lineární podprostor tečného prostoru , který plynule závisí na bodu . Podprostory se nazývají horizontální . Vektorové pole a křivka se nazývají horizontální , pokud se v každém bodě dotýkají rozdělení (v případě křivky máme na mysli všechny body, ve kterých má křivka tečnu ). $M$ $m$ $\Delta$ $n<m$ $x\v M$ $\Delta _{x}$ $T_{x}M$ $X$ $\Delta _{x}$ $M$ $\Delta$

Distribuce se nazývá zcela neintegrovatelná nebo zcela neholonomická , pokud v každém bodě může být libovolný vektor tečného prostoru reprezentován jako lineární kombinace vektorů tvaru $\Delta$ $x \v M$ $T_{x}M$

A,\ [A,B],\ [A,[B,C]],\ [A,[B,[C,D]]],\ \tečky

s některými . Zde znamená Lieovu závorku vektorových polí.

A,B,C,D,\tečky \in \Delta _{x}

[A, B]

Rozdělení s na něm definovaným zcela neintegrovatelným rozdělením se nazývá sub-riemannovské , pokud je každý horizontální podprostor vybaven vnitřním součinem g - metrickým tenzorem , který se plynule mění z bodu do bodu. Jinými slovy, trojice se nazývá sub-Riemannovská varieta . $M$ $\Delta$ $\Delta _{x}\subset T_{x}M$ $(M,\Delta,g)$

Související pojmy

Raševského-Chowova věta

Rashevsky-Chowova věta říká, že pro jakékoli dva body v dráhově spojené sub-Riemannově varietě existuje po částech hladká vodorovná křivka spojující tyto body. Tuto větu nezávisle na sobě dokázali sovětský matematik P. K. Rashevsky (1938) [1] a čínský matematik Chow ( Wei-Liang Chow , 1939) [2] .

V této větě může být podmínka hladkosti pro zcela neholonomní rozdělení oslabena a nahrazena Lippitzovou podmínkou [3] .

Carnot-Carathéodoryho metrika

Každá sub-Riemannovská varieta má metriku definovanou analogicky s Riemannovou varietou vzorcem

d(x,y)=\inf \int _{0}^{1}{\sqrt {g({\dot \gamma }(t),{\dot \gamma }(t))))\,dt ,

kde se infimum odebírá podél všech možných po částech hladkých vodorovných křivek spojujících body x a y , tedy , , , . Takto definovaná metrika se nazývá Carnot-Carathéodoryho metrika . $\gamma :[0,1]\to M$ $\gamma(0)=x$ $\gamma (1)=y$ $d(x,y)$

Poznámky

↑ Rashevsky P. K. O konektivitě libovolných dvou bodů zcela neholonomního prostoru přípustnou přímkou. Uch. aplikace. Moskva Stát ped. in-ta im. K. Liebknecht. Ser. Fiz.-Mat., 3:2 (1938), 83-94
↑ Chow WL Uber Systeme von linearen partiallen Differentialgleichungen erster Ordnung. Matematika. Ann. 117 (1939), 98-105
↑ K. V. Storozhuk . Carathéodory-Rashevsky-Chowova věta pro Lipschitzova neholonomická rozdělení. Sib. matematika. zhurn., 54:6 (2013), 1380-1387

Literatura

Bellaiche, André & Risler, Jean-Jacques, ed. (1996), Sub-Riemannian geometry , sv. 144, Progress in Mathematics, Birkhäuser Verlag, ISBN 978-3-7643-5476-3 , < https://books.google.com/books?id=7Z7IMze7pDwC >

Gromov, Mikhael (1996), Carnot-Carathéodoryho prostory viděné zevnitř , v Bellaïche, André & Risler., Jean-Jacques, Sub-Riemannian geometry , sv. 144, Progr. Math., Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, str. 79–323, ISBN 3-7643-5476-3 , < http://www.ihes.fr/~gromov/PDF/carnot_caratheodory.pdf > Archivováno 27. září 2011 ve Wayback Machine

Le Donne, Enrico, Poznámky k přednášce o sub-Riemannově geometrii , < https://cvgmt.sns.it/media/doc/paper/5339/sub-Riem_notes.pdf >

Richard Montgomery , Cesta po subriemannovských geometriích, jejich geodeskách a aplikacích (Matematické průzkumy a monografie, svazek 91) , (2002) Americká matematická společnost, ISBN 0-8218-1391-9 .

Agrachev, Andrej A.; Barilari, Davide; Boscain, Ugo , Úvod do Riemannovy a sub-Riemannovy geometrie

RS Strichartz , Sub-Riemannian geometry, Journal of Differential Geometry 24 (1986), 221-263 .