Weylové sumy

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 16. července 2020; kontroly vyžadují 3 úpravy .

Weylové součty jsou obecným názvem pro trigonometrické součty zvláštního druhu.

Definice

Weylové součty jsou součty tvaru

{\displaystyle \displaystyle \sum _{a<n\leqslant b}e^{2\pi if(n)))

kde a funkci $n\in {\mathbb {Z}}$

f(x)=\alpha _{k}x^{k}+\alpha _{k-1}x^{k-1}+\ldots +\alpha _{1}x+\alpha _{ 0}\in \mathbb {R} [x]

je polynom stupně s reálnými koeficienty. Název "Weilovy součty" pro trigonometrické součty tohoto typu navrhl I.M. Vinogradova na počest G. Weila , který je nejprve podrobně prozkoumal . $k$

Racionální Weylovy součty

Důležitým příkladem Weylových součtů jsou racionální Weylovy součty, kdy všechny koeficienty polynomu jsou racionální čísla. Přesněji řečeno, racionální Weylovy součty (modulo ) jsou Weylovy součty s funkcí : $f(x)$ $m$ $f(x)={\frac {P_{k}(x)}{m))$

{\displaystyle \displaystyle \sum _{a<n\leqslant b}e^{2\pi i{\frac {P_{k}(n)}{m))))

kde je nějaké pevné celé číslo , a $m>1$ $n\in {\mathbb {Z}}$

P_{k}(x)=a_{k}x^{k}+a_{k-1}x^{k-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}\in \mathbb {Z} [x]

je polynom stupně s celočíselnými koeficienty. $k$

Příklady racionálních Weylových součtů

Jestliže , pak uvedený součet je lineární trigonometrický součet . $f(x)=ax$
Jestliže je prvočíslo, pak Weylovy součty s polynomem se nazývají Gaussovy součty řádu a pro se nazývají Gaussovy součty . $m=p$ ${\displaystyle f(x)=ax^{k))$ $(k>1)$ $k$ $k=2$
Jestliže je prvočíslo, pak pro každé , které není násobkem , je v poli zbytku vždy číslo , které je inverzní k : $m=p$ $n$ $p$ $\mathbb {Z} _{p}$ $n^{*}$ $n$

n^{*}n\equiv 1\mod p

, a zároveň .

n^{*}\equiv n^{p-2}\mod p

Racionální Weylovy součty s polynomem lze tedy zapsat jako

P_{p-1}(n)=an^{p-1}+bn

{\displaystyle \displaystyle {\sum _{a<n\leqslant b))'e^{2\pi i{\frac {an^{*}+bn}{p))))

, (prvočíslo u znaménka součtu znamená, že sčítání se provádí přes všechny , nikoli násobky ) a nazývají se Kloostermanovy součty .

n

p

Odhady pro Weilovy součty

Odhady pro Weilovy součty hrají důležitou roli v mnoha problémech v analytické teorii čísel . Existuje několik metod pro odhad Weylových součtů. Nejjednodušší a nejznámější z nich je Gaussova metoda.

Viz také

Weylova věta o rovnoměrném rozdělení

Literatura

G.I. Arkhipov, A.A. Karatsuba, V.N. Čubarikov. Teorie více goniometrických součtů. Moskva: Nauka, 1987.
JIM. Vinogradov. Vybraná díla. M., 1952.