Schéma axiomu je zobecněním konceptu axiomu .
Axiomové schéma je vzorec v metajazyku axiomatického schématu, ve kterém se objevuje jedna nebo více proměnných. Tyto proměnné, které jsou metalingvistickými konstrukty, označují jakýkoli termín nebo podvzorec systému, který může nebo nemusí být vyžadován pro splnění určitých podmínek. Často takové podmínky vyžadují, aby určité proměnné byly volné proměnné nebo aby se určité proměnné neobjevily v podformuli nebo termínu.
Vzhledem k tomu, že počet možných podformulí nebo termínů, které lze vložit na místo proměnné schématu, je spočetně nekonečný, schéma axiomu znamená spočetně nekonečnou sadu axiomů. Tato množina může být obvykle definována rekurzivně . Teorie, kterou lze axiomatizovat bez schémat, se nazývá konečná axiomatizace . Teorie, které lze samozřejmě axiomatizovat, jsou považovány za metamaticky elegantnější, i když jsou méně praktické pro deduktivní práci.
Dva velmi známé případy axiomových schémat jsou:
Cheslav Ryl-Nardzewski [1] dokázal, že Peanova aritmetika nemůže být konečně axiomatizována, a Richard Montagu dokázal, že Zermelo-Fraenkelův systém nemůže být konečně axiomatizován. [2] Z těchto teorií tedy nelze vyloučit axiomová schémata. To platí i pro řadu dalších axiomatických teorií v matematice, filozofii, lingvistice atd.
Všechny teorémy Zermelo-Fraenkelova systému jsou také teorémy von Neumann–Bernays–Gödelovy teorie množin , ale ta může být s konečnou platností axiomatizována.