Borsuk-Ulamova věta

Borsuk-Ulamův teorém je klasický teorém algebraické topologie , který říká, že jakákoli spojitá funkce , která mapuje -rozměrnou kouli do -rozměrného euklidovského prostoru pro nějaký pár diametrálně opačných bodů , má společnou hodnotu. Informally, sdělení je známé jako “teorém teploty a tlaku”: u nějakého daného času, tam jsou antipodal body na zemském povrchu se stejnou teplotou a se rovnat tlaku [1] ; jednorozměrný případ je obvykle znázorněn dvěma diametrálně opačnými body rovníku se stejnou teplotou. $n$ $n$

S prohlášením se poprvé setkali Lyusternik a Shnirelman v dokumentu z roku 1930 [2] [3] ; první důkaz publikoval v roce 1933 Borsuk , který jako autora formulace uvedl Ulama .

Formulace

Pro spojitou funkci , kde je koule v - rozměrném euklidovském prostoru , existují dva diametrálně protilehlé body takové, že . ${\displaystyle f\colon \mathbb {S} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n))$ ${\mathbb S}^{n}$ $(n+1)$ $a,-a\in \mathbb {S} ^{n}$ $f(a)=f(-a)$

Variace a zobecnění

Ekvivalentní tvrzení je obecná nulová věta : jakákoli lichá (s ohledem na diametrální opak) spojitá funkce z -rozměrné koule do -rozměrného euklidovského prostoru mizí v jednom z bodů: . Ekvivalence je stanovena zavedením liché funkce pro spojitou funkci . V jednorozměrném případě věta o společné nule vyplývá přímo z věty o střední hodnotě ; obecný důkaz používá Gurevichův izomorfismus (algebraicko-topologická varianta), nebo je odvozen z Tuckerova lemmatu ( kombinatorická varianta; Tuckerovo lemma je považováno za kombinatorickou analogii Borsuk-Ulamovy věty). ${\displaystyle g\colon \mathbb {S} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n))$ $n$ $n$ $a\in \mathbb {S} ^{n}$ $g(a)=0$ ${\displaystyle f\colon \mathbb {S} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n))$ $g(x)=f(x)-f(-x)$

V roce 1954 Abram Iljič Fet zobecnil výsledek [4] : Tvrzení věty platí nejen pro poměr antipodů, ale také pro libovolnou involuci -rozměrné sféry, tedy pro jakoukoli involuci a jakoukoli spojitou funkce existuje takový bod , že [5] [ 6] . $n$ ${\displaystyle ^{*}\colon \mathbb {S} ^{n}\to \mathbb {S} ^{n))$ ${\displaystyle f\colon \mathbb {S} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n))$ $a\in \mathbb {S} ^{n}$ $f(a)=f(a^{*})$

Poznámky

↑ O. Ya. Viro, O. A. Ivanov, N. Yu Netsvetaev, V. M. Kharlamov. Elementární topologie . - MCMNO, 2010. - 352 s. - ISBN 978-5-94057-587-0 . Archivováno 19. února 2012 na Wayback Machine
↑ L. A. Lyusternik, L. G. Shnirelman. Topologické metody ve variačních problémech // Sborník příspěvků Ústavu matematiky a mechaniky Moskevské státní univerzity (speciální vydání). — 1930.
↑ Jiří Matoušek. Použití Borsuk-Ulamova teorému. - Berlin: Springer Verlag, 2003. - ISBN 3-540-00362-2 . - doi : 10.1007/978-3-540-76649-0 .
↑ Kerin - Nudelman, 1983 , sovětský matematik A. Fet pomocí jemných a silných prostředků topologie zjistil, že Borsuk-Ulamova věta (dokonce i ve své -dimenzionální verzi) zůstává platná, pokud je na kouli dána libovolná involuce , str. 25. $n$ $S$ $P\to P'$
↑ A. I. Fet. Zobecnění Lyusternik-Shnirelmanovy věty o obalech koulí a některé příbuzné věty // Dokl . - 1954. - T. 95 , č. 6 . Archivováno z originálu 25. ledna 2020.
↑ A. I. Fet. Involuční zobrazení a pokrytí sfér // Sborník příspěvků ze semináře o funkcionální analýze. - Voroněžská univerzita , 1955. - Vydání. 1 .

Literatura

K. Borsuk. Drei Sätze über die -dimensionale euklidische Sphäre (německy) // Fond. Matematika.. - 1933. - Bd. 20 . - S. 177-190 . $n$
FE Su. Borsuk-Ulamův teorém implikuje Brouwerovu větu o pevném bodě Borsuk—Ulam implikuje Brouwer: Přímá konstrukce // Amer . Matematika. Měsíční. - 1997. - Sv. 104 . - S. 855-859 .
M. Crane , A. Nudelman . Borsuk-Ulamova věta aneb něco o počasí, cvičeném koni a dvourozměrných polích // Kvant . - 1983. - č. 8 . - S. 20-25 .