Brouwerova věta o pevném bodě

Brouwerův teorém o pevném bodu je důležitý teorém o pevném bodu použitelný pro spojitá zobrazení v konečněrozměrných prostorech a je základem pro některé obecnější teorémy.

Historie

Prioritou v objevu věty je Piers Georgievich Bol : ve své práci z roku 1904 [1] formuloval a dokázal větu ekvivalentní větě o pevném bodě a popsal aplikaci této věty na teorii diferenciálních rovnic [2]. . Jeho výsledek však nebyl vidět. V 1909 Brouwer znovuobjevil tento teorém pro případ .

Formulace

Věta je obvykle formulována následovně: Jakákoli souvislá mapa uzavřené koule do sebe v konečno-rozměrném euklidovském prostoru má pevný bod.

Podrobněji zvažte uzavřenou kouli v n - rozměrném prostoru . Nechť je nějaké souvislé mapování této koule do sebe (ne nutně striktně uvnitř sebe, ne nutně bijektivní , tedy ani nutně surjektivní ). Pak je tu bod takový, že .

Důkaz

Z výpočtu homologických nebo homotopických skupin koule a koule vyplývá, že nedochází k zatažení koule na její hranici.

Budiž nyní mapování koule do sebe, která nemá žádné pevné body. Zkonstruujme na jeho základě stažení koule na její hranici. Pro každý bod zvažte přímku procházející body a (je jedinečná, protože podle předpokladu neexistují žádné pevné body.). Dovolit je průsečík této čáry s hranicí míče, a leží mezi a . Je snadné vidět, že mapa je stažením míče na jeho hranici. Rozpor.

Variace a zobecnění

Důsledky

Poznámky

  1. Über die Bewegung eines mechanischen Systems in die Nähe einer Gleichgewichtslage (J. reine, angew. Math. 127 (1904), 179-276
  2. A. D. Myshkis, I. M. Rabinovič. První důkaz věty o pevném bodě pro spojité zobrazení koule do sebe samého, který podal  lotyšský matematik  P.G. - Ruská akademie věd , 1955. - T. 10 , č. 3 . - S. 188-192 .

Literatura