Birchova věta

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 4. května 2022; kontroly vyžadují 4 úpravy .

Birchův teorém je pojmenován po britském matematikovi Brianu Johnu Birchovi . Věta je tvrzení o existenci a reprezentovatelnosti nul forem lichého stupně.

Prohlášení Birchovy věty

Nechť K je algebraické číselné pole , k , la n přirozená čísla , lichá přirozená čísla a homogenní polynomy s koeficienty od K stupňů v n proměnných . Pak je číslo takové, že ${\displaystyle r_{1},\tečky ,r_{k))$ ${\displaystyle f_{1},\tečky ,f_{k))$ ${\displaystyle r_{1},\tečky ,r_{k))$ $\psi (r_{1},\tečky ,r_{k},l,K)$

n\geqslant \psi (r_{1},\ldots ,r_{k},l,K)

existuje l - rozměrný vektorový podprostor V z Kn takový , že

f_{1}(x)=\cdots =f_{k}(x)=0{\text{ pro všechna }}x\in V.

Poznámky

Důkaz věty se provádí metodou matematické indukce na maximálním stupni forem . Pro důkaz je nezbytný speciální případ, který lze dokázat aplikací Hardy-Littlewoodovy kruhové metody , teorému, který říká, že pokud je n dostatečně velké a r je liché, pak rovnice ${\displaystyle f_{1},\tečky ,f_{k))$

c_{1}x_{1}^{r}+\cdots +c_{n}x_{n}^{r}=0,\quad c_{i}\in \mathbb {Z} ,\ i =1,\ldots ,n

má řešení v celých číslech , ve kterých ne všechny proměnné jsou 0. $x_1,\tečky,x_n$

Podmínka, že r je liché , je nezbytná, protože tvary sudého řádu, jako jsou pozitivně určité kvadratické formy , mohou mít na počátku pouze 0.

Literatura

BJ Birch. Homogenní formy lichého stupně ve velkém počtu proměnných // Matematika . - 1957. - T. 4 . - doi : 10.1112/S0025579300001145 .