Varignonova věta (geometrie)

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 15. prosince 2021; kontroly vyžadují 5 úprav .

Varignonův teorém je geometrický fakt dokázaný Pierrem Varignonem a uvádí, že středy stran libovolného čtyřúhelníku jsou vrcholy rovnoběžníku:

Čtyřúhelník, jehož vrcholy se shodují se středy stran libovolného čtyřúhelníku , je rovnoběžník , jehož strany jsou rovnoběžné s úhlopříčkami původního čtyřúhelníku.

Rovnoběžník tvořený středy stran se někdy nazývá varinon nebo varinon .

Důsledky

Střed Varignonova rovnoběžníku leží uprostřed segmentu spojujícího středy stran původního čtyřúhelníku (ve stejném bodě se protínají segmenty spojující středy protilehlých stran - úhlopříčky Varignonského rovnoběžníku).
Obvod Varignonova rovnoběžníku je roven součtu úhlopříček původního čtyřúhelníku.
Plocha varignonského rovnoběžníku se rovná polovině plochy původního čtyřúhelníku.
Pro obdélník a rovnoramenný lichoběžník je Varignonův rovnoběžník kosočtverec a pro kosočtverec obdélník .
Varignonův rovnoběžník je kosočtverec právě tehdy, když v původním čtyřúhelníku 1) jsou úhlopříčky stejné 2) jsou bimediány kolmé.
Varignonův rovnoběžník je obdélník právě tehdy, když v původním čtyřúhelníku: 1) jsou úhlopříčky kolmé; 2) bimediány jsou stejné.
Varignonův rovnoběžník je čtverec právě tehdy, když v původním čtyřúhelníku 1) jsou úhlopříčky stejné a kolmé; 2) bimediány jsou stejné a kolmé.

Důkaz

Důkaz, že plocha rovnoběžníku je polovinou plochy původního čtyřúhelníku

Nechte úhlopříčku procházet uvnitř čtyřúhelníku. Pak je plocha trojúhelníku , kde je výška trojúhelníku vytaženého z vrcholu . Podobně je plocha trojúhelníku . Pak je plocha celého čtyřúhelníku . Ale - to je součet vzdáleností k přímce od bodů a , tedy přesně výška rovnoběžníku . A protože strana rovnoběžníku je poloviční , pak se plocha rovnoběžníku rovná polovině plochy , QED $AC$ $ABC$ ${\frac {AC\cdot h_{b}}2}$ $h_{b}$ $ABC$ $B$ $ADC$ ${\frac {AC\cdot h_{d}}2}$ ${\frac {AC(h_{b}+h_{d})}2}$ ${\frac {(h_{b}+h_{d})}2}={\frac {h_{b))2}+{\frac {h_{d))2}$ $AC$ $E$ $H$ $EHGF$ $GH$ $AC$ $abeceda$

konvexní čtyřúhelník	nekonvexní čtyřúhelník	samoprotínající čtyřúhelník

Varignonova věta (geometrie)

Důsledky

Důkaz

Důkaz, že plocha rovnoběžníku je polovinou plochy původního čtyřúhelníku

Viz také

Poznámky