Weylova věta o rovnoměrném rozdělení

Weylův teorém o rovnoměrném rozdělení formuluje kritérium pro rovnoměrné rozdělení nekonečné posloupnosti reálných čísel z intervalu . $(0;1)$

Věta byla prokázána v roce 1914 a zveřejněna v roce 1916 Hermannem Weylem . [1] [2]

Definice

Nechť je nekonečná posloupnost reálných čísel z intervalu $\xi _{1},\xi _{2},\tečky$ $(0;1)$

U čísel označte počtem čísel od , ležících v intervalu . $a,b\in (0;1),\ a<b$ $\varphi _{n}(a,b)=\#\left\lbrace {k:1\leq k\leq n,\xi _{k}\in (a;b)}\right\rbrace$ ${\displaystyle \xi _{1},\tečky ,\xi _{n))$ $(a; b)$

Maximální maximální odchylku definujeme jako . $D_{\xi }=\lim \sup _{n\to \infty }{\left(({\frac {\varphi _{n}(a,b)}{n))-(ba) }\že jo)}$

Posloupnost se nazývá rovnoměrně rozložená v if . Jinými slovy, sekvence je rovnoměrně rozložena , pokud v jakémkoli nenulovém segmentu má podíl prvků, které spadají do tohoto segmentu, sklon ke zlomku velikosti segmentu v . $\xi _{1},\xi _{2},\tečky$ $(0;1)$ $D_{\xi }=0$ $(0;1)$ $(0;1)$

Prohlášení věty

Posloupnost je rovnoměrně rozložena tehdy a jen tehdy, když pro jakoukoli Riemannovu integrovatelnou funkci na intervalu platí následující identita: $\left({\xi _{n}}\right)_{n=1}^{\infty },\xi _{n}\in (0;1)$ $(0;1)$ $(0;1)$ $F$

\lim \limits _{n\to \infty }{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{f(\xi _{k}) }}=\int \limits _{0}^{1}{f(x)dx}

Důkaz

Je zřejmé, že tvrzení o rovnoměrném rozdělení je ekvivalentní splnění identity pro po částech konstantní funkce formy . Tím je okamžitě zajištěna jednotnost vyplývající z naplnění identity pro všechny funkce. $f(x)=\left\lbrace {\begin{matrix}1,x\in (a;b)\\0,x\not \in (a;b)\end{matrix}}\right .$

Navíc v případě rovnoměrně rozložené posloupnosti lze pomocí složení takových funkcí a odpovídajících násobení (konstantou) a sčítání limit a integrálů prokázat platnost identity pro jakoukoli po částech konstantní funkci.

Protože libovolnou Riemannovu integrovatelnou funkci lze aproximovat až k hodnotě integrálu po částech konstantní funkcí (navíc takovou, že ) pro , pak $F$ ${\displaystyle \varepsilon =\int _{0}^{1}{|f(x)-f_{1}(x)|dx))$ $f_1$ $\forall x:\ |f_{1}(x)-f(x)|<\varepsilon$ $\varepsilon >0$

{\Bigg |}{\lim \limits _{n\to \infty }{{\frac {1}{n))\sum \limits _{k=1}^{n}{f_{1 }(\xi _{k})}}-\int _{0}^{1}{f(x)dx}}{\Bigg |}={\Bigg |}{\int _{0}^{ 1}{f_{1}(x)dx}-\int _{0}^{1}{f(x)dx)){\Bigg |}<\varepsilon

\exists N:\ \forall n>N:\ {\Bigg |}{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{f_{1} (\xi _{k})}-\int _{0}^{1}{f(x)dx}}{\Bigg |}<2\varepsilon

Protože podle definice následuje , pak pro dostatečně velké bude platit $f_1$ ${\Bigg |}{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{f(\xi _{k})}-{\frac {1 }{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{f_{1}(\xi _{k}))){\Bigg |}={\Bigg |}{{\frac { 1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{(f(\xi _{k})-f_{1}(\xi _{k))))){\Bigg |}<{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{|f(\xi _{k})-f_{1}(\xi _{k} )}|<\varepsilon$ $n$

{\Bigg |}{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{f(\xi _{k})}-\int _{0 }^{1}{f(x)dx}}{\Bigg |}<\varepsilon

Protože do těchto argumentů lze dosadit libovolně malé , znamená to, že $\varepsilon >0$

\lim \limits _{n\to \infty }{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{f(\xi _{k}) }}=\int _{0}^{1}{f(x)dx}

Důsledky

Test s goniometrickými součty

Weilův teorém nám umožňuje odvodit přímou souvislost mezi rovnoměrností rozdělení a goniometrickými součty . [2]

Posloupnost je rovnoměrně rozložena tehdy a jen tehdy, když pro jakékoli celé číslo $\left({\xi _{n}}\right)_{n=1}^{\infty },\xi _{n}\in (0;1)$ $(0;1)$ $m\not =0$

\lim \limits _{n\to \infty }{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{e^{2\pi m\xi _{k}i}}}=0

Důkaz posledního tvrzení se provádí podobně jako důkaz hlavní věty (viz výše), ale místo aproximace po částech lineární funkcí se používá aproximace částečnými součty Fourierovy řady .

Konstanta ve vzorci je ve skutečnosti hodnota integrálu . $0$ $\int \limits _{0}^{1}{e^{2\pi mxi}dx}=0$

Zlomkové části iracionálních násobků

Díky formulaci věty pomocí goniometrických součtů je snadné odvodit následující výsledek:

Označte zlomkovou částí čísla $\left\lbrace {x}\right\rbrace$ $X$

Jestliže je iracionální číslo, pak je posloupnost rovnoměrně rozložena v . $\xi \in {\mathbb {R} }$ $\left\lbrace {\xi }\right\rbrace ,\left\lbrace {2\xi }\right\rbrace ,\left\lbrace {3\xi }\right\rbrace ,\tečky ,\left\ lbrace {n\xi }\vpravo\rbrace ,\tečky$ $(0;1)$

Důkaz

K prokázání pomocí kritéria jednotnosti v goniometrickém tvaru stačí odhadnout modul goniometrického součtu pro iracionální a celé číslo . K tomu můžete použít nejjednodušší vzorec pro součet geometrické posloupnosti . $\xi _{k}=k\xi$ $m\not =0$

{\Bigg \vert }{\sum \limits _{k=1}^{n}{e^{2\pi mk\xi ))}{\Bigg \vert }={\Bigg \vert } {\frac {e^{2\pi m\xi }-e^{2\pi m(n+1)\xi }}{1-e^{2\pi m\xi }}}{\Bigg \ vert }={\frac {\vert {e^{2\pi m\xi }-e^{2\pi m(n+1)\xi }}\vert }{\vert {e^{2\pi m\xi }-1}\vert }}<{\frac {2}{\vert {e^{2\pi m\xi }-1}\vert }}

Vzhledem k tomu, že množství nezávisí na , pak pro každou fixní jednotku vyplývá z výše uvedené nerovnosti $\vert {e^{2\pi m\xi }-1}\vert$ $n$ $m\not =0$

\lim \limits _{n\to \infty }{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{e^{2\pi mk\xi i}}}=0

Literatura

Kuipers L., Niederreiter G. Jednotná distribuce sekvencí. — M .: Nauka, 1985. — 408 s.
Casssels J.W.S. Úvod do teorie diofantických aproximací. - M . : Nakladatelství zahraniční literatury, 1961. - 213 s.

Poznámky

↑ Hermann Weyl . Uber die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins // Mathematische Annalen . - 1916. - Sv. 77. - S. 313-352 . Archivováno z originálu 15. srpna 2017.
↑ 1 2 K. Chandrasekharan. Úvod do analytické teorie čísel . - World, 1968. Archivováno 29. listopadu 2014 na Wayback Machine