Wickův teorém pro funkcionální integrál

Wickův teorém pro funkcionální integrál je zobecněním Wickovy věty pro polynom v souřadnicích vícerozměrného Gaussova vektoru na případ Gaussova rozdělení kontinua . Široce používaný v aparátu funkčních integrálů .

Formulace

Teorém.

Nechť náhodné pole odpovídá kontinuu Gaussovu rozdělení s nulovým průměrem, tzn. . Pro střední hodnoty součinů množství pak platí následující : $\varphi (X)$ $\langle \varphi (X)\rangle =0$ $\varphi _{i}=\varphi (X_{i})$

$\langle \varphi _{1}\cdot \ldots \cdot \varphi _{N}\rangle =\sum \langle \varphi _{i_{1}}\varphi _{j_{1}}\rangle \cdot \ldots \cdot \langle \varphi _{i_{N/2}}\varphi _{j_{N/2}}\rangle ,$

pokud dokonce, a $N$

$\langle \prod _{i\in I}\varphi _{i}\rangle =0,$

pokud je lichý. $N$

Pod je myšleno rozdělení množiny do párů , zatímco sumace přechází přes všechny možné různé oddíly do takových párů. $\langle \varphi _{i_{1}}\varphi _{j_{1}}\rangle \cdot \ldots \cdot \langle \varphi _{i_{N/2}}\varphi _{j_{ N/2}}\rozsah$ $\{1,\ldots ,N\}$ $N/2$ $(i_{k},j_{k})$ $\{1,\ldots ,N\}$

Příklady

K produktu 4 prvky: . $\langle \varphi _{1}\cdot \varphi _{2}\cdot \varphi _{3}\cdot \varphi _{4}\rangle =\langle \varphi _{1}\cdot \varphi _{2}\rangle \cdot \langle \varphi _{3}\cdot \varphi _{4}\rangle +\langle \varphi _{1}\cdot \varphi _{3}\rangle \cdot \langle \ varphi _{2}\cdot \varphi _{4}\rangle +\langle \varphi _{1}\cdot \varphi _{4}\rangle \cdot \langle \varphi _{2}\cdot \varphi _{ 3}\rozsah$

K produktu 6 prvků:

$\langle \varphi _{1}\cdot \varphi _{2}\cdot \varphi _{3}\cdot \varphi _{4}\cdot \varphi _{5}\cdot \varphi _{6 }\rangle =\sum \langle \varphi _{i}\cdot \varphi _{j}\rangle \cdot \langle \varphi _{k}\cdot \varphi _{l}\rangle \cdot \langle \varphi _{m}\cdot \varphi _{n}\rangle$ ,

navíc se sčítání provádí přes všechna možná párování vybraná například ze sady nebo (celkem je 15 takových párování). $(i,j),(k,l),(m,n)$ ${\displaystyle \{1,2,3,4,5,6\))$ $(1,3),(2,5),(4,6)$ $(1,5),(2,4),(3,6)$

Podobně pro případy 8 a více prvků

Použití

Je známo, že pokud je hustota Gaussova rozdělení popsána vzorcem

$\rho \left[\varphi \right]=C\exp \left\{-{\frac {\varphi K\varphi }{2}}\right\}$ ,

pak

$\langle \varphi _{1}\cdot \varphi _{2}\rangle =\langle \varphi (X_{1})\cdot \varphi (X_{2})\rangle =K^{-1 }(X_{1},X_{2})$ .

To znamená, že jakákoli korelační funkce může být vyjádřena Wickovou větou v termínech kombinací , tj. $G(X_{1},\ldots ,X_{N})=\langle \varphi (X_{1}),\ldots ,\varphi (X_{N})\rangle$ $K^{-1}$

$G(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})=K^{-1}(X_{1},X_{2})\cdot K^{-1 }(X_{3},X_{4})+K^{-1}(X_{1},X_{3})\cdot K^{-1}(X_{2},X_{4})+ K^{-1}(X_{1},X_{4})\cdot K^{-1}(X_{2},X_{3})$ .

Viz také

Literatura

Vasiliev A.N. Skupina renormalizace kvantového pole v teorii kritického chování a stochastické dynamiky. - Nakladatelství St. Petersburg Institute of Nuclear Physics (PNPI), 1998. - ISBN 5-86763-122-2 .