Descartova věta

Descartova věta nebo Descartovo pravidlo znamének , - věta, která říká, že počet kladných kořenů polynomu s reálnými koeficienty je roven počtu změn znaménka v řadě jeho koeficientů nebo sudému číslu menšímu než toto číslo (tj. kořeny se počítají s přihlédnutím k násobnosti, nulové koeficienty při počítání počtu změn znaménka se neberou v úvahu).

Pokud je známo, že všechny kořeny daného polynomu jsou reálné (jako např. pro charakteristický polynom symetrické matice), pak Descartesova věta udává přesný počet kořenů. Pokud vezmeme v úvahu polynom , můžete použít stejnou větu k nalezení počtu záporných kořenů . $f(-x)$ $f(x)$

Důkaz

Označme počtem kladných kořenů polynomu a počtem změn znaménka v posloupnosti jeho koeficientů. Je zřejmé, že tyto hodnoty se nemění, pokud je polynom vynásoben , takže můžeme předpokládat, že vedoucí koeficient je kladný bez ztráty obecnosti. Kromě toho, jestliže je kořenem polynomu násobnosti , může být děleno , a od toho se samozřejmě také nezmění. Díky tomu můžeme předpokládat, že se nejedná o kořen polynomu, to znamená, že volný člen polynomu je jiný než nula. $N(f)$ $F$ $L(f)$ $-jeden$ $F$ $0$ $F$ $k$ $F$ ${\displaystyle x^{k))$ $N(f)$ $L(f)$ $0$ $F$

Dokažme postupně několik lemmat:

Lemma 1

$N(f)\equiv L(f){\pmod {2))$

Důkaz: Buď volný termín . Pak . Protože podle podmínky je vedoucí člen kladný, můžeme tvrdit, že hodnota , pro dostatečně velké x. Pokud se pohybujete po číselné ose doprava, pak se při průchodu kořenem polynomu násobnosti změní znaménko na . Proto je počet kladných kořenů s přihlédnutím k násobnosti sudý, jestliže , a lichý, jestliže naopak. Toto znamení je určeno pozitivitou nebo negativitou . Je také zřejmé, že jelikož je vedoucí koeficient polynomu kladný, závisí parita také na kladnosti volného členu. Tím je lemma dokázáno. $A$ $F$ $f(0)=a$ $F$ $f(x)>0$ $F$ $k$ $f(x)$ ${\displaystyle (-1)^{k))$ $f(0)>0$ $A$ $L(f)$

Lemma 2

$N(f)\leqslant N(f')+1$

Důkaz: Podle Rolleovy věty mezi libovolnými dvěma kořeny polynomu leží kořen jeho derivace. Každý kořen násobnosti polynomu je navíc kořenem násobnosti jeho derivace. Odtud se dostáváme . Q.E.D. $F$ $k$ $F$ $k-1$ $N(f')\geqslant N(f)-1$

Lemma 3

$L(f')\leqslant L(f)$

Důkaz: Je zřejmé, že tato charakteristika se při derivování polynomu nemůže zvětšit.

Tvrzení

Počet záporných kořenů polynomu se rovná počtu kladných kořenů polynomu , kde . $F$ $g(x)=(-1)^{n}f(-x)$ $n=\deg f$

Lemma 4

$L(f)+L(g)\leqslant n$

Důkaz: Koeficienty polynomu se získají z koeficientů polynomu střídavým násobením . Pokud předpokládáme, že všechny koeficienty polynomu jsou nenulové, pak v místě, kde došlo ke změně znaménka v jejich řadě, nedojde ke změně znaménka v řadě koeficientů polynomu a naopak - kde nebylo y , bude y . Proto je v tomto případě součet počtu změn znaménka v těchto polynomech přesně roven . Při nahrazení některých koeficientů nulami se počet změn znaménka nemůže zvýšit, proto v obecném případě máme: . Lema je dokázáno. $G$ $F$ $\pm 1$ $F$ $G$ $F$ $G$ $n$ $L(f)+L(g)\leqslant n$

Důkaz věty

Dokažme nerovnost indukcí na . Báze indukce: při , . Nechte _ Pak . Pomocí lemmat 2 a 3 a indukčního předpokladu , že dostaneme: . Nicméně, rovnost je nemožná kvůli lemmatu 1. A protože a jsou přirozená čísla, máme: . $N(f)\leqslant L(f)$ $\deg f$ $\deg f=0$ $N(f)=L(f)=0$ $\deg f=n>0$ $\deg f'=n-1$ $N(f')\leqslant L(f')$ $N(f)\leqslant N(f')+1\leqslant L(f')+1\leqslant L(f)+1$ $N(f)=L(f)+1$ $N(f)$ $L(f)$ $N(f)\leqslant L(f)$

Pokud jsou všechny kořeny polynomu reálné, pak na základě dokázané nerovnosti a lemmatu 4 máme: . Odkud podle první části věty dostáváme: a , z čehož věta vyplývá. $F$ $n=N(f)+N(g)\leqslant L(f)+L(g)\leqslant n$ $N(f)=L(f)$ $N(g)=L(g)$

Historie

Toto pravidlo poprvé popsal Descartes ve své Geometrii (1637) .

Viz také

Sturmova série