Carathéodory-Toeplitzova věta

Carathéodory-Toeplitzova věta je věta v matematické analýze pojmenovaná po matematicích Constantin Carathéodory a Otto Toeplitz :

Nechť je jednotková kružnice v komplexní rovině $\Delta :=\{z\,:\,|z|<1\}$ $\mathbb {C} .$

Množina všech funkcí s kladnou reálnou částí a normalizací mapující kružnici do pravé poloroviny se nazývá třída Carathéodory a značí se $Hz)$ $\Delta$ $h(0)=1,$ $\Delta$ $C.$

Carathéodory a Toeplitz vyřešili problém přesného popisu množiny hodnot soustavy koeficientů , kde na tř. $(\{h\}_{1},\ldots ,\{h\}_{n}),$ $n\in \mathbb {N} ,$ $C.$

Množina hodnot systému koeficientů na třídě je uzavřená konvexně ohraničená množina bodů -rozměrného komplexního euklidovského prostoru , pro který jsou determinanty $(\{h\}_{1},\ldots ,\{h\}_{n}),$ $n\in {\mathbb N}$ $C$ $K_n$ $n$ ${\mathbb C}^{n}$

\det {\{a_{ij}\}_{i,j=0}^{k)),\qquad 1\leqslant k\leqslant n,

kde

a_{ii}=2,\qquad a_{ij}=\{h\}_{ji},\quad j>i,\qquad a_{ji}={\overline {a_{ij))} ,\quadj<i,

buď jsou všechny kladné, nebo jsou kladné až do určitého čísla, od kterého se rovnají nule. Druhý případ odpovídá skutečnosti, že bod patří na hranici tělesa koeficientů. Každému hraničnímu bodu tohoto tělesa odpovídá pouze jedna funkce třídy, která má tvar konvexní lineární kombinace $(\{h\}_{1},\ldots ,\{h\}_{n})$ ${\displaystyle \partial K_{n))$ $K_{n}.$ $C,$

h^{(k)}(z)=\sum _{\nu =1}^{k}\alpha _{\nu }{\frac {1+e^{i\varphi _{\nu }}z}{1-e^{i\,\varphi _{\nu }}z}}

s koeficienty a a pro $\alpha _{\nu },$ $1\leqslant k\leqslant n$ ${\displaystyle \varphi _{\nu }\neq \varphi _{\mu ))$ $\mu \neq \nu ,$ $\mu ,\nu =1,\ldots ,n.$

Viz také

Carathéodory-Fejerova věta .

Literatura

Carathéodory C. Über die Variabilitätsbereich des Fourierschen Konstanten von Positiv Harmonischen Funktion Rendiconti Circ. Rohož. di~ Palermo. 1911. V.~32. P.~193-217.
Töplitz O. Über die Fouriersche Entwicklung Positiver Funktionen Rendiconti. Circ. Rohož. di~ Palermo. 1911. V.~32. P.~191-192.