Carathéodory-Fejerova věta

Carathéodory -Fejerova věta :

Nechat

{\displaystyle P(z)=~c_{0}+~c_{1}z+\ldots +c_{n-1}z^{n-1))

polynom , . Existuje pouze jedna racionální funkce $P\not \equiv 0$

R(z)=R(z,~c_{0},~c_{1},\ldots ,~c_{n-1})

druh

$R(z)=\lambda {{\bar {\alpha }}_{n-1}+{\bar {\alpha }}_{n-2}z+\ldots +{\bar {\alpha }}_{0}z^{n-1} \over \alpha _{0}+\alpha _{1}z+\ldots +\alpha _{n-1}z^{n-1}},\ \lambda >0,$

pravidelný v a mající ve své expanzi v Maclaurinově řadě první koeficienty rovné , resp . Tato funkce a pouze ona implementuje nejmenší hodnotu $\left|z\right|\leqslant 1$ $n$ ${\displaystyle c_{0},~c_{1},\ldots ,~c_{n-1))$

M_{f}=\sup _{\left|z\right|<1}\left|f(z)\right|

ve třídě všech funkcí pravidelných v kruhu formuláře $\left|z\right|<1$ $f(z)$

f(z)=P(z)+~a_{n}z^{n}+\ldots ,

a zadaná nejmenší hodnota je

\lambda =\lambda (c_{0},~c_{1},\ldots ,~c_{n-1})

Číslo se rovná největšímu kladnému kořenu rovnice tého stupně $\lambda (c_{0},~c_{1},\ldots ,~c_{n-1})$ $2n$

{\begin{vmatrix}-\lambda &0&\ldots &0&c_{0}&c_{1}&\ldots &c_{n-1}\\0&-\lambda &\ldots &0&0&c_{0}&\ldots &c_{ n-2}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\0&0&\ldots &-\lambda &0&0&\ldots &c_{0}\\{\bar {c_{0}}&0&\ldots &0&-\lambda &0&\ldots &0\\{\bar {c_{1}}}&{\bar {c_{0}}}&\ldots &0&0&-\lambda &\ ldots &0\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\{\bar {c}}_{n-1}&{\bar {c}} _{n-2}&\ldots &{\bar {c}}_{0}&0&0&\ldots &-\lambda \end{vmatrix}}

Pokud jsou reálná čísla , pak jsou největší z absolutních hodnot kořenů rovnice tého stupně ${\displaystyle c_{0},~c_{1},\ldots ,~c_{n-1))$ $\lambda (c_{0},~c_{1},\ldots ,~c_{n-1})$ $n$

{\begin{vmatrix}-\lambda &0&\ldots &0&c_{0}\\0&-\lambda &\ldots &c_{0}&c_{1}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots & \ldots \\c_{0}&c_{1}&\ldots &c_{n-2}&c_{n-1}-\lambda \end{vmatrix}}=0

Literatura

Carathéodory C., Fejer L. Rend. Podložka Circolo. Palermo, - 1911, v. 32, str. 218-239.
Goluzin G. M. Geometrická teorie funkcí komplexní proměnné, 2. vyd., - M. , 1966.