Taylorova řada

Taylorova řada je expanze funkce do nekonečného součtu mocninných funkcí . Zvláštní případ expanze do Taylorovy řady v nulovém bodě se nazývá Maclaurinova řada .

Taylorova série byla známá dlouho před publikacemi Brooke Taylorové [1] — byla používána již ve 14. století v Indii [2] , stejně jako v 17. století Gregorym a Newtonem .

Taylorovy řady se používají při aproximaci funkce pomocí polynomů . Konkrétně k linearizaci rovnic dochází rozšířením do Taylorovy řady a odříznutím všech členů nad prvním řádem .

Zobecněním pojmu Taylorovy řady ve funkcionální analýze je Fantapieho řada .

Definice

1. Taylorův polynom funkce reálné proměnné , diferencovatelných časů v bodě , je konečný součet $f(x)$ $X$ $k$ $A$

f(x)=\sum _{n=0}^{k}{\frac {f^{(n)}(a)}{n!)}}(xa)^{n}=f (a)+f'(a)(xa)+{\frac {f^{(2)}(a)}{2!}}(xa)^{2}+\ldots +{\frac {f^ { (k)}(a)}{k!}}(xa)^{k}

používá se v přibližných výpočtech jako zobecnění důsledku Lagrangeovy věty na střední hodnotu diferencovatelné funkce:

když je pravda .

xa=h\to 0

f(x)=f(a+h)=f(a)+f'(a)\cdot h+O(h^{2})\přibližně f(a)+f'(a)\ cdot h=f(a)+f'(a)\cdot(xa)

Při psaní součtu jsme použili zápis a konvenci pro součin nad prázdnou množinou: , . $f^{(0)}(x)=f(x)$ $0! = 1$ $(xa)^{0}=1$

2. Taylorova řada v bodě funkce reálné proměnné , která je nekonečně diferencovatelná v okolí bodu, se nazývá formální mocninná řada $A$ $f(x)$ $X$ $A$

f(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!)}}(xa)^{n} = \sum _{n=0}^{+\infty }\varphi _{n}(x;a)

se společným členem v závislosti na parametru .

\varphi _{n}(x;a)={\frac {f^{(n)}(a)}{n!)}}\cdot (xa)^{n}

A

Jinými slovy, Taylorova řada funkce v bodě je expanzní řada funkce v kladných mocninách binomu : $f(x)$ $A$ $(xa)$

f(x)=f(a)+f'(a)(xa)+{\frac {f''(a)}{2!}}(xa)^{2}+\ldots +{ \frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(xa)^{n}+\ldots \,

. [3]

Jak je naznačeno v příkladech níže, mít funkci nekonečně diferencovatelnou v okolí bodu nestačí k tomu, aby Taylorova řada konvergovala k samotné funkci kdekoli než v bodě samotném . $f(x)$ $A$ $A$

3. Taylorova řada v bodě funkce komplexní proměnné , která splňuje Cauchy-Riemannovy podmínky v nějakém okolí bodu, se nazývá mocninná řada. $A$ $f(z)$ $z$ $U\subseteq \mathbb {C}$ $A$

f(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!)}}(za)^{n}

Na rozdíl od reálného případu z podmínek vyplývá, že existuje taková hodnota poloměru , která konverguje v řadě k funkci . $R>0$ $D_{R}=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|<R\}\subseteq U$ $f(z)$

4. Řada případů $a=0$

f(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!)}}x^{n}

se nazývá řada Maclaurin .

Analytická funkce

1. Funkce reálné proměnné se nazývá analytická v bodě , pokud existuje takový poloměr a takové koeficienty , , které lze znázornit jako mocninnou řadu konvergující na intervalu : , tedy . $f(x)$ $X$ $x=a$ $R>0$ $c_{k}=c_{k}(a)=c_{k}(a;f)\,$ $k=0,1,2,\tečky \,$ $f(x)$ $(aR;a+R)$ $\sum \limits _{k=0}^{+\infty }{{c_{k}}{{(xa)}^{k}}}\,$ $\forall x\in (aR;a+R)$ $\Šipka doprava$ $\lim _{n\to +\infty }\,\sum \limits _{k=0}^{n}{{c_{k}}{{(xa)}^{k}}}= f(x)$

Funkce se nazývá analytická na intervalu (na množině), pokud je analytická v každém bodě tohoto intervalu (množiny).

2. Mocninná řada na libovolné kompaktní podmnožině oblasti konvergence umožňuje diferenciaci člen po členu libovolný počet opakování. ${\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{+\infty }{{c_{k}}{{(za)}^{k))))$ $K$ ${\displaystyle D_{R}=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|<R\))$

Pokud dosadíme do té derivace funkce , dostaneme . $k$ ${\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{+\infty }{{c_{k}}{{(za)}^{k))))$ $z=a$ ${c_{k}}\cdot k!$

Pro funkci analytickou v bodě, pro některé všude v , je tedy reprezentace správná . $A$ $f(z)$ $R>0$ ${\displaystyle D_{R}=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|<R\))$ ${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{+\infty }{\frac {f^{(k)}(a)}{k!))(za)^{k))$

Následek. Funkce reálné proměnné je analytická v bodě právě tehdy, když je rovna její Taylorově řadě s parametrem na nějakém otevřeném intervalu obsahujícím bod . $f(x)$ $X$ $A$ $A$ $A$

3. Otázka: pro libovolnou funkci reálné proměnné nekonečně diferencovatelné v bodě , bude její Taylorova řada konvergovat všude na nějakém intervalu , tj. je reprezentovatelná touto řadou? $A$ $f(x)$ $X$ $\sum _{k=0}^{+\infty }{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(xa)^{k}$ $f(x)$ $(aR;a+R)$ $f(x)$

Odpověď: ne. Existují nekonečně diferencovatelné funkce reálné proměnné, jejíž Taylorova řada konverguje, ale liší se od funkce v jakémkoli okolí . $A$

Příklady. Funkce reálné proměnné , , jsou nekonečně diferencovatelné v bodě , a všechny tyto derivace jsou rovny nule. $f_{2}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{e^{-{\frac {1}{x^{2))))},&x\neq 0 \\0,&x=0\end{array}}\right.\,$ $f_{+}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{e^{-{\frac {1}{x)))),&x>0\\0,&x \leq 0\end{array}}\right.\,$ $f_{\rm {v}}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{e^{-{\frac {1}{|x|}}}},&x\ neq 0\\0,&x=0\end{array}}\right.\,$ $x=0$

Proto jsou Taylorovy řady všech těchto funkcí s parametrem shodně rovné nule. Nicméně, pro všechny v blízkosti bodu , existují body, ve kterých se funkce liší od . Tyto funkce tedy nejsou v určitém bodě analytické. $a=0$ $R>0$ $(-R;+R)$ $a=0$ $0$ $a=0$

Důkaz

Provedeme důkaz pro funkci navrženou Augustinem-Louisem Cauchym . $f(x)=f_{2}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{e^{-{\frac {1}{x^{2))))} ,&x\neq 0\\0,&x=0\end{array}}\right.\,$

Funkce je analytická funkce komplexní proměnné pro všechny . $\exp \left(-{\frac {1}{z^{2))}\right)$ $z\in {\overline {\mathbb {C} }}\setminus \{0\}$

Neboť je zřejmé, že . $z \neq 0$ ${\frac {d}{dz}}\exp \left(-{\frac {1}{z^{2}}}\right)=\exp \left(-{\frac {1}{ z^{2}}}\right)\cdot \left({\frac {2}{z^{3}}}\right)$

Funkce pro je "opravená" funkce , doplněná o limity vlevo a vpravo v bodě . $f(x)$ $x\in \mathbb {R}$ $\exp \left(-{\frac {1}{x^{2))}\right)$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \{0\))$ $\lim _{x\to 0,x<0}\exp \left(-{\frac {1}{x^{2))}\right)=0$ $\lim _{x\to 0,x>0}\exp \left(-{\frac {1}{x^{2))}\right)=0$ $x=0$

Pojďme najít derivaci funkce v bodě . Podle definice: . $f(x)$ $x=0$ $f'(0)=\lim _{\Delta x\to 0,\Delta x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {f(0+\Delta x) -f(0)}{\Delta x}}=\lim _{h\to 0,h\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {f(h)-0}{ h))={\frac {0}{0}}=\lim _{h\to 0,h\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {f'(h)} {h'}}=\lim _{h\to 0,h\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {2f(h)}{{h}^{3}}}$

Protože pro je splněno , dokážeme, že pro libovolné platí . $x\in (0;1)$ ${\displaystyle 0<e^{-{\frac {1}{x^{2))))<e^{-{\frac {1}{x))))$ $\alpha >0$ $\lim _{x\to 0,x>0}{\frac {e^{-{\frac {1}{x)))){x^{\alpha }}}=0$

Použití L'Hopitalova pravidla přímo na díly

\lim _{x\to 0,x>0}e^{-{\frac {1}{x))}=\lim _{x\to 0,x>0}x^{\alpha }=0

nevede k výsledku.

Změníme proměnnou : ${\frac {1}{x}}=t$

${\displaystyle \lim _{x\to 0,x>0}{\frac {e^{-{\frac {1}{x)))){x^{\alpha }}}=\lim _{ t\to +\infty }{\frac {t^{\alpha }}{e^{t}}}={\frac {+\infty }{+\infty }}=\lim _{t\to + \infty }{\frac {\alpha t^{\alpha -1}}{e^{t))))$ .

Nechte _ Při použití L'Hopitalových časů pravidel získáme v čitateli buď (for ) konstantu , nebo (for ) nekonečně malé : $k=\lceil \alpha \rceil$ $k$ $\alpha =k$ $k!$ $\alpha <k$ ${\displaystyle \alpha (\alpha -1)\ldots (\alpha -k+1)t^{\alpha -k))$

\lim _{t\to +\infty }{\frac {t^{\alpha }}{e^{t}}}={\frac {+\infty }{+\infty }}=\ ldots =\lim _{t\to +\infty }{\frac {\alpha (\alpha -1)\ldots (\alpha -k+1)t^{\alpha -k)){e^{t} }}=0

Takto,

f'(0)=\lim _{h\to 0,h\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {2f(h)}{{h}^{3 }}}=0

Najděte (pro ) několik počátečních derivací funkce : $x\neq 0$ $f(x)$

{\displaystyle f'(x)={\frac {2f(x)}{x^{3))))

f''(x)=\left({\frac {2f(x)}{x^{3}}}\right)'=2\left({f'(x){\frac {1 }{x^{3}}}+f(x)\left({\frac {1}{x^{3}}}\right)'}\right)=2\left({{\frac {2f (x)}{x^{3))}{\frac {1}{x^{3}}}+f(x)\left({\frac {1}{x^{3}}}\vpravo )'}\right)=2f(x)\left({{\frac {2}{x^{6}}}-{\frac {3}{x^{4}}}}\right)

f'''(x)=\left({2f(x)\left(({\frac {2}{x^{6}}}-{\frac {3}{x^{4}) }}}\right)}\right)'=4f(x)\left({{\frac {2}{x^{9}}}-{\frac {3}{x^{7}}}+ {\frac {6}{x^{5}}}-{\frac {6}{x^{7}}}}\right)

A tak dále. Ve všech případech je samozřejmě výsledkem součin součtu záporných celých mocnin . Konečný součet infinitesimálů je nekonečně malý. Tedy, . $f(x)$ $X$ $\lim _{x\to 0,x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}f^{(k)}(x)=0$

Postupným výpočtem podle definice (jak je uvedeno výše) derivací v bodě , zjistíme, že všechny derivace v bodě se rovnají nule. $f(x)$ $x=0$ $x=0$

Oblast konvergence Taylorovy řady

Taylorova řada, která je mocninnou řadou, má jako oblast konvergence kružnici (uprostřed v bodě ) pro případ komplexní proměnné a interval (uprostřed v bodě ) pro případ reálné proměnné. $A$ $A$

1. Například funkci lze v Taylorově řadě rozšířit takto: (toto je známý vzorec pro součet nekonečné klesající geometrické posloupnosti). Pokud je však funkce definována pro všechna reálná čísla kromě bodu , pak řada konverguje pouze za podmínky . $f(x)={\frac {1}{1-x))$ ${\frac {1}{1-x}}=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{x^{k}}$ ${\frac {1}{1-x}}$ $x=1$ $\sum \limits _{k=0}^{\infty }{x^{k))$ $|x|<1$

2. Poloměr konvergence Taylorovy řady lze určit například pomocí d'Alembertova vzorce:

R=\lim _{k\to \infty }\left|{\dfrac {\dfrac {{f^{(k)))(a)}{k!)}{\dfrac {{f^ {(k+1)}}(a)}{(k+1)!}}}\right|=\lim _{k\to \infty }\left|{{\frac {{f^{(k) )}}(a)}{{f^{(k+1)}}(a)}}(k+1)}\right|

3. Uvažujme například exponenciální funkci . Protože jakákoli derivace exponenciální funkce je rovna funkci samotné v libovolném bodě, poloměr konvergence exponenciální funkce je . To znamená, že Taylorova řada exponenciální funkce konverguje na celé ose pro jakýkoli parametr . ${\displaystyle e^{x))$ $R=\lim _{k\to \infty }\left|({\frac {e^{a}}{e^{a}}}(k+1)}\right|=\lim _ {k\to \infty } (k+1)=\infty$ $X$ $A$

4. Oblast její konvergence závisí na parametru, bodu rozvoje Taylorovy řady. $A$

Například rozšiřme v obecném případě (pro libovolný ) v Taylorově řadě funkci : . $A$ $f(x)={\frac {1}{1-x))$ $f(x)={\frac {1}{1-x}}={\frac {1}{1-a}}\sum \limits _{k=0}^{\infty }{{ \left({\frac {xa}{1-a}}\right)}^{k}}$

Pomocí vzorce pro součet geometrické posloupnosti lze dokázat, že daná řada jako funkce argumentu má stejný tvar pro všechny hodnoty (kromě ). $X$ $A$ $a=1$

Opravdu,

{\frac {1}{1-a}}\sum \limits _{k=0}^{\infty }{{\left({\frac {xa}{1-a}}\right) }^{k))={\frac {1}{1-a}}\cdot {\frac {1}{1-\left({\dfrac {xa}{1-a}}\right))) ={\frac {1}{1-x}}

Rozsah konvergence řady může být dán nerovností . A nyní tato oblast závisí na . Například pro , řada konverguje pro . Pro , řada konverguje v . $\left|{\frac {xa}{1-a}}\right|<1$ $A$ $a=0$ $x\in (-1;1)$ $a=0{,}5$ $x\in (0;1)$

Taylorův vzorec

Předpokládejme, že funkce má všechny derivace až do -tého řádu včetně v nějakém intervalu obsahujícím bod . Najděte polynom stupně nejvýše , jehož hodnota v bodě je rovna hodnotě funkce v tomto bodě a hodnoty jeho derivací až do -tého řádu včetně v bodě se rovnají hodnotám odpovídajících derivací funkce v tomto bodě. $f(x)$ $n+1$ $x=a$ ${P_{n}}(x)$ $n$ $x=a$ $f(x)$ $n$ $x=a$ $f(x)$

Je poměrně snadné dokázat, že takový polynom má tvar , to znamená, že je to -tý částečný součet Taylorovy řady funkce . Rozdíl mezi funkcí a polynomem se nazývá zbytek a označuje se . Vzorec se nazývá Taylorův vzorec [4] . Zbývající člen jsou diferencovatelné časy v uvažovaném okolí bodu . Taylorův vzorec se používá při dokazování velkého množství teorémů v diferenciálním počtu . Volně řečeno, Taylorův vzorec ukazuje chování funkce v blízkosti určitého bodu. ${P_{n}}(x)=\sum \limits _{k=0}^{n}{{\frac {{f^{(k)))(a)}{k!)} } {{(xa)}^{k}}}$ $n$ $f(x)$ $f(x)$ ${P_{n}}(x)$ ${R_{n}}(x)=f(x)-{P_{n}}(x)$ $f(x)={P_{n}}(x)+{R_{n}}(x)$ $n+1$ $A$

Teorém:

Pokud má funkce derivaci na segmentu s konci a , pak pro libovolné kladné číslo existuje bod ležící mezi a , takže $f(x)$ $n+1$ $A$ $X$ $p$ $\xi$ $A$ $X$

f(x)=\sum _{k=0}^{n}{f^{(k)}(a) \over k!}(xa)^{k}+\left({xa \ přes x-\xi }\vpravo)^{p}{(x-\xi )^{n+1} \přes n!p}f^{(n+1)}(\xi ).

Toto je Taylorův vzorec se zbytkovým členem v obecné formě ( Schlömilch - Roche forma ).

Různé formy zbytku

V Lagrangeově podobě :

R_{n}(x)={(xa)^{n+1} \over (n+1)!}f^{(n+1)}[a+\theta (xa)]\qquad p =n+1;\qquad 0<\theta <1

Závěr Diferencujte s ohledem na obě strany časů Taylorova vzorce:

X

n

{\begin{array}{l}1)f(x)'=f(a)'+\sum \limits _{k=2}^{n}{{\frac {{f^{( k)}}(a)}{(k-1)!}}{{(xa)}^{k-1}}}+{R_{n}}(x)'\\2)f(x) ''=f(a)''+\sum \limits _{k=3}^{n}{{\frac {{f^{(k)}}(a)}{(k-2)!} }{{(xa)}^{k-2}}}+{R_{n}}(x)''\\...\\n-1)f{(x)^{(n-1) }}=f{(a)^{(n-1)}}+{f^{(n)}}(a)(xa)+{R_{n}}{(x)^{(n-1 )}}\\n)f{(x)^{(n)}}={f^{(n)}}(a)+{R_{n}}{(x)^{(n)}} \end{array}}

(Zejména odtud je zřejmé, že jde o vlastnost zbytku termínu v jakékoli formě.)

{R_{n}}(a)={R_{n}}(a)'={R_{n}}(a)''=...={R_{n}}{(a) ^{(n)}}=0

Podle Lagrangeovy věty (protože odpovídá podmínkám věty) existuje takový bod mezi a (tedy nerovná se ani , nebo ), že . Odtud . Rozlišme ještě jednou poslední identitu s ohledem na a získejte .

f(x)

\xi

X

A

\xi

X

A

f{(x)^{(n)}}-{f^{(n)}}(a)=f{(\xi )^{(n+1)}}(xa)

{R_{n}}{(x)^{(n)}}=f{(\xi )^{(n+1)))(xa)

X

{R_{n}}{(x)^{(n+1)}}=f{(\xi )^{(n+1)))

Zbývající člen nechť je uveden ve tvaru . Pak, za prvé, to a všechny jeho deriváty jsou rovny nule v bodě , a za druhé, . Na konci můžete také provést proměnnou substituci: . Vzorec byl uvolněn.

{R_{n}}(x)={\frac {f{{(\xi )}^{(n+1)}}{{(xa)}^{n+1}}}{( n+1)!}}

x=a

{R_{n}}{(x)^{(n+1)}}=f{(\xi )^{(n+1)))

\xi =a+\theta (xa),\qquad 0<\theta <1

V Cauchy formě :

R_{n}(x)={(xa)^{n+1}(1-\theta )^{n} \over n!}f^{(n+1)}[a+\theta ( xa)]\qquad p=1;\qquad 0<\theta <1

V integrální podobě:

R_{n}(x)={1 \over n!}\int \limits _{a}^{x}(xt)^{n}f^{(n+1)}(t)\ ,dt

Závěr Pomocí metody integrace po částech získáme

{\begin{array}{l}{R_{n}}(x)={\frac {1}{n!}}\int \limits _{a}^{x}{{(xt) )}^{n}}{f^{(n+1)}}(t)dt}={\frac {1}{n!}}\int \limits _{a}^{x}{{{ (xt)}^{n}}d{f^{(n)}}(t)}={\frac {1}{n!}}\left.{\left({{{(xt)}^ {n}}{f^{(n)}}(t)}\right)}\right|_{a}^{x}-{\frac {1}{n!)}}\int \limits _ { a}^{x}{{f^{(n)}}(t)d}{(xt)^{n}}=\\={\frac {1}{(n-1)!}} \ int \limits _{a}^{x}{{{(xt)}^{n-1}}{f^{(n)}}(t)d}t-{\frac {{{(xa) ) }^{n}}{f^{(n)}}(a)}{n!}}=...=\int \limits _{a}^{x}{f'(t)d} t -\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {{f^{(k)}}(a){{(xa)}^{k}}}{k!}}= f (x)-\sum \limits _{k=0}^{n}{\frac {{f^{(k)}}(a){{(xa)}^{k}}}{k! } }\end{array}}

kde

f(x)=\sum \limits _{k=0}^{n}{\frac {{f^{(k))))(a){{(xa)}^{k))} {k!}}+{R_{n}}(x)

Uvolněme předpoklady:

Nechť má funkce derivaci v nějakém sousedství bodu a tu derivaci v bodě samotném , pak: $f(x)$ $n-1$ $A$ $n$ $A$

V asymptotické formě ( Peano forma , lokální forma):

R_{n}(x)=o[(xa)^{n}]

Závěr Protože , pak limitu vztahu , jak má tendenci, lze nalézt pomocí L'Hopitalova pravidla:

{R_{n}}(a)={R_{n}}(a)'={R_{n}}(a)''=...={R_{n}}{(a) ^{(n)}}=0

{\frac {{R_{n}}(x)}{{(xa)}^{n}}}

X

A

\lim _{x\to a}{\frac {{R_{n}}(x)}{{(xa)}^{n}}}=\lim _{x\to a}{\ frac {{R_{n}}(x)'}{\left({{(xa)}^{n}}\right)'}}=\lim _{x\to a}{\frac {{R_ {n}}(x)''}{\left({{(xa)}^{n}}\right)''}}=...=\lim _{x\to a}{\frac { {R_{n}}{{(x)}^{(n)}}}{{\left({{(xa)}^{n}}\right)}^{(n)}}}}=\ lim _{x\to a}{\frac {{R_{n}}{{(x)}^{(n)}}}{n!)}}=0

Protože je limita nulová, znamená to, že zbytek je nekonečně malou funkcí vyššího řádu než , pro . A to je definice o-small.

R_{n}(x)

{\displaystyle (xa)^{n))

x\to a

Kritérium pro analytičnost funkce

Předpokládejme, že nějaká funkce musí být v určitém okamžiku rozšířena v Taylorově řadě . Chcete-li to provést, musíte se nejprve ujistit, že funkce je v tomto okamžiku analytická (tj. doslova rozložitelná). Jinak to nebude rozšíření funkce do Taylorovy řady, ale prostě Taylorovy řady, která se nerovná její funkci. Navíc, jak je vidět na příkladu Cauchyho funkce, funkce může být v bodě diferencovatelná libovolně a její Taylorova řada s parametrem může být konvergentní, ale Taylorova řada se její funkci nemusí rovnat. $f(x)$ $x=a$ $A$ $A$

Za prvé, nezbytnou podmínkou pro analytičnost funkce je konvergence Taylorovy řady v nějaké spojité oblasti. Pokud Taylorova řada konverguje pouze v jednom bodě, pak je to bod , protože Taylorova řada v něm vždy konverguje. Ale pak je Taylorova řada rovna funkci pouze v tomto jediném bodě, což znamená, že tato funkce nebude analytická. $x=a$ $f(x)$

Za druhé, podle Taylorova vzorce lze jakoukoli (nejen analytickou) funkci, která je nekonečně diferencovatelná v okolí obsahujícím bod, rozšířit na Taylorovu řadu se zbytkovým členem . Nechť Taylorova řada s parametrem takové funkce konverguje v tomto okolí. Pokud existuje limita každé ze dvou posloupností, pak je limita součtu těchto posloupností rovna součtu jejich limit. Pak pro všechny z okolí pomocí Taylorova vzorce můžeme napsat , kde je Taylorova řada. $A$ $A$ $X$ $A$ $\lim _{n\to \infty }R_{n}(x)=\lim _{n\to \infty }(f(x)-P_{n}(x))=f(x) -\lim _{n\to \infty }P_{n}(x)$ $\lim _{n\to \infty }P_{n}(x)$

Je zřejmé, že funkce je analytická v bodě právě tehdy, když v zadaném okolí bodu existuje souvislá oblast taková, že pro celý zbytek jejího rozvoje podle Taylorova vzorce má tendenci k nule s rostoucím : . $f(x)$ $A$ $A$ $X$ $x\in X$ $n$ $\lim _{n\to \infty }R_{n}(x)=0$

Vezměme si jako příklad exponenciální funkci . Jeho Taylorova řada konverguje na celé ose pro jakékoli parametry . Nyní dokažme, že tato funkce je ve všech bodech analytická . ${\displaystyle e^{x))$ $X$ $A$ $A$

Zbývající člen rozšíření této funkce v Lagrangeově tvaru má tvar , kde je nějaké číslo uzavřené mezi a (ne libovolné, ale neznámé). Pak očividně ${R_{n}}(x)={\frac {{(xa)}^{n+1}}{(n+1)!}}{e^{\xi _{n}}}$ $\xi _{n}$ $X$ $A$

\lim _{n\to \infty }{R_{n}}(x)=\lim _{n\to \infty }{\frac {{(xa)}^{n+1}}{ (n+1)!}}{e^{\xi _{n}}}\leq M\cdot \lim _{n\to \infty }{\frac {{(xa)}^{n+1} }{(n+1)!}}=0

Je zde použito, že na pevném intervalu je exponent omezen na nějaké číslo $M$

Navíc, jak je vidět, limita zbývajícího členu je rovna nule pro libovolné a . $X$ $A$

Maclaurin řada některých funkcí

Vystavovatel : $\displaystyle {\mathrm {e}}^{{x}}=1+{\dfrac {x}{1!}}+{\dfrac {x^{2}}{2!}}+{\dfrac { x^{3}}{3!}}+\cdots =\sum \limits _{{n=0}}^{{\infty }}{\dfrac {x^{n}}{n!}}, x\in {\mathbb {C}}$
Přirozený logaritmus (" Mercatorova řada "): pro všechny $\displaystyle \ln(1+x)=x-{\dfrac {x^{2}}{2}}+{\dfrac {x^{3}}{3}}-\cdots =\sum \limits _ {{n=0}}^{{\infty }}{\dfrac {(-1)^{n}x^{{n+1}}}{(n+1)}}=\sum \limits _ {{n=1}}^{{\infty }}{\dfrac {(-1)^{{n-1}}x^{n}}{n}},$ $-1< x\le 1$
Binomická expanze : pro všechny a všechny komplexní kde $\displaystyle (1+x)^{\alpha }=1+\sum \limits _{{n=1}}^({\infty }}{\binom \alpha n}x^{n},$ $\left| x\vpravo| < 1$ $\alpha ,$ $\displaystyle {\binom {\alpha }{n}}=\prod \limits _{k=1}^{n}{\dfrac {\alpha -k+1}{k}}={\dfrac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!)}}$
- Druhá odmocnina : pro všechny $\displaystyle {\sqrt {1+x}}=1+{\dfrac {x}{2}}-{\dfrac {x^{2}}{8}}+{\dfrac {x^{ 3}}{16}}-{\dfrac {5x^{4}}{128}}+\cdots =\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^ {n}(2n)!}{(1-2n)n!^{2}4^{n}}}x^{n},$ $|x|\leq 1$
- ${\dfrac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots =1+\sum \limits _{n=1}^{\ infty }x^{n},$ pro všechny $|x| < 1$
- Finální geometrická řada: pro všechny $\displaystyle {\dfrac {1-x^{{m+1}}}{1-x}}=\sum \limits _{{n=0}}^{{m}}x^{n},$ ${\displaystyle x\not =1,\ m\in \mathbb {N} _{0))$
Goniometrické funkce :
- Sinus: $\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7} }{7!}}+{\frac {x^{9}}{9!}}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n }x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$
- Kosinus: $\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots =\sum _{ n=0}^{\infty }{(-1)^{n}}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}},x\in \mathbb {C}$
- Tangenta: pro všechna kde jsou Bernoulliho čísla $\displaystyle \operatorname {tg}\ x=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots =\sum _{{n =1}}^{{\infty }}{\frac {B_{{2n}}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{{ 2n-1}},$ $\left|x\right|<{\dfrac {\pi }{2)),$ $B_{2n}$
- Secant: pro všechny kde jsou Eulerova čísla $\displaystyle \sec x=\sum _{{n=0}}^{{\infty }}{\frac {(-1)^{n}E_{{2n}}}{(2n)!}}x ^{{2n}}$ $\left|x\right|<{\dfrac {\pi }{2))$ $E_{2n}$
- Arcsine: pro každého [6] $\displaystyle \arcsin x=x+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}+\cdots \ =\sum _{{n=0} }^{{\infty }}{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)))x^{{2n+1}}$ $\left|x\right|\leq 1$
- Arccosine: pro každého $\displaystyle \arccos x={\pi \over 2}-\arcsin x={\pi \over 2}-\sum _{{n=0}}^({\infty }}{\frac {(2n) !}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{{2n+1}}$ $\left|x\right|\leq 1$
- Arctangens: pro každého $\displaystyle \operatorname {arctg} \ x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots \ =\ součet _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{2n-1}}x^{2n-1}$ $\left|x\right|\leq 1$
Hyperbolické funkce :
- $\operatorname {sh} x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots =\sum _{ n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1},x\in \mathbb {C}$
- $\operatorname {ch} x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots =\sum _ {n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n},x\in \mathbb {C}$
- $\operatorname {th} x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-\cdots =\sum _{n =1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}$ pro všechny $\left|x\right|<{\dfrac {\pi }{2))$
- $\operatorname {arsh} x=x-{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}-\cdots \ =\sum _{ n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)))x^{ 2n+1}$ pro všechny $\left| x\vpravo| < 1$
- $\operatorname {arth} x=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+\cdots =\sum _{n= 0}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}x^{2n+1}$ pro všechny $\left| x\vpravo| < 1$

Taylorův vzorec pro funkci dvou proměnných

Nechť má funkce spojité derivace až do tého řádu včetně v nějakém okolí bodu . Zavádíme diferenciální operátor $f(x,y)$ $(n+1)$ $(x_0, y_0)$

\mathrm{T}=(x-x_0)\dfrac {\částečný} {\částečný x}+(y-y_0)\dfrac {\částečný} {\částečný y}

Pak bude mít expanze (Taylorův vzorec) funkce v mocninách pro v okolí bodu tvar $f(x,y)$ ${\displaystyle (x-x_{0})^{p}(y-y_{0})^{q))$ $p+q\leq n$ $(x_0, y_0)$

f(x,y)=\sum\limits_{k=0}^n \dfrac {\mathrm{T}^kf(x_0,y_0)} {k!} + R_n(x,y),

kde je zbytek termínu v Lagrangeově tvaru: $R_n(x,y)$

R_n(x,y)=\dfrac {\mathrm{T}^{(n+1)} f(\xi,\zeta)} {(n+1)!},\ \xi \in [x_0,x ],\ \zeta \in [y_0,y]

Všimněte si, že operátory a působí pouze na funkci , nikoli na a/nebo . ${\dfrac {\partial }{\partial x))$ ${\dfrac {\partial }{\partial y))$ ${\displaystyle \mathrm {T} ^{k))$ $f(x,y)$ $(x-x_0)$ $(y-y_{0})$

Podobně je vzorec sestaven pro funkce libovolného počtu proměnných, mění se pouze počet členů v operátoru . $\mathrm{T}$

V případě funkce jedné proměnné . $\mathrm {T} =(x-x_{0}){\dfrac {d}{dx}}\,$

Taylorův vzorec pro mnoho proměnných

Abychom získali Taylorův vzorec pro funkci proměnných , která má v nějakém okolí bodu spojité derivace až do -tého řádu včetně, zavedeme diferenciální operátor $n$ $f(x_1, x_2, ... x_n)$ $(a_{1},a_{2},...,a_{n})$ $(m+1)$

\mathrm {T} =(x_{1}-a_{1}){\dfrac {\partial }{\partial x_{1))}+(x_{2}-a_{2}){\ dfrac {\partial }{\partial x_{2}}}+...+(x_{n}-a_{n}){\dfrac {\partial }{\partial x_{n}}}.

Pak expanze (Taylorův vzorec) funkce v mocninách v okolí bodu má tvar $(x_{i}-a_{i})^{k_{i))$ $(a_{1},a_{2},...,a_{n})$

f(x_{1},x_{2},...x_{n})=\sum \limits _{k=0}^{m}{\dfrac {\mathrm {T} ^{k }f(a_{1},a_{2},...,a_{n})}{k!}}+R_{m}(x_{1},x_{2},...x_{n }),

kde je zbytek objednávky . $R_m(x_1, x_2, ... x_n)$ $(m+1)$

Pro funkci proměnných, která je nekonečně diferencovatelná v nějakém okolí bodu , má Taylorova řada tvar $n$ $(a_{1},a_{2},...,a_{n})$

f(x_{1},x_{2},...x_{n})=\sum \limits _{k_{1}=0}^{\infty }\sum \limits _{k_{ 2}=0}^{\infty }...\součet \limits _{k_{n}=0}^{\infty }C_{k_{1},k_{2},...k_{n} }(x_{1}-a_{1})^{k_{1}}(x_{2}-a_{2})^{k_{2}}...(x_{n}-a_{n} )^{k_{n}}

kde

C_{k_{1},k_{2},...k_{n))={\dfrac {1}{k_{1}!k_{2}!...k_{n}!} }{\dfrac {\částečné ^{k_{1}+k_{2}+...+k_{n))}{\částečné x_{1}^{k_{1))\částečné x_{2}^ {k_{2}}...\částečné x_{n}^{k_{n}}}}f(x_{1},x_{2},...x_{n})|_{x_{1 }=a_{1},x_{2}=a_{2},...,x_{n}=a_{n}}

Příklad Maclaurinova řadového rozšíření funkce tří proměnných

Najděte výraz pro rozvoj Taylorovy řady funkce tří proměnných a v okolí bodu až do druhého řádu malosti. Operátor bude vypadat $X$ $y$ $z$ $(0,0,0)$ $\mathrm{T}$

\mathrm{T}= x \dfrac {\partial} {\partial x}+ y \dfrac {\partial} {\partial y}+ z \dfrac {\partial} {\partial z}.

Rozšíření v Taylorově řadě lze zapsat jako

f(x,y,z)=\sum \limits _{k=0}^{2}{\dfrac {\mathrm {T} ^{k}f_{0}}{k!)}} + R_{2}(x,y,z)=

=\left(1+T+{\frac {T^{2}}{2}}\right)f_{0}+R_{2}(x,y,z);

Vzhledem k tomu

T^2 = x^2 \dfrac {\částečný^2} {\částečný x^2}+ y^2 \dfrac {\částečný^2} {\částečný y^2}+ z^2 \dfrac {\částečný ^2} {\partial z^2} + 2xy \dfrac {\partial^2} {\partial x \partial y} + 2xz \dfrac {\partial^2} {\partial x \partial z}+ 2yz \dfrac {\partial^2} {\partial y \partial z},

dostaneme

f(x,y,z)=f_{0}+x{\dfrac {\částečné f_{0}}{\částečné x}}+y{\dfrac {\částečné f_{0}}{\ částečné y))+z{\dfrac {\částečné f_{0)){\částečné z))+{\frac {x^{2)){2)){\dfrac {\částečné ^{2}f_{ 0}}{\částečné x^{2}}}+{\frac {y^{2}}{2}}{\dfrac {\částečné ^{2}f_{0}}{\částečné y^{2 ))}+{\frac {z^{2}}{2}}{\dfrac {\partial ^{2}f_{0}}{\partial z^{2}}}+

+xy{\dfrac {\partial ^{2}f_{0}}{\částečné x\částečné y}}+xz{\dfrac {\částečné ^{2}f_{0}}{\částečné x \částečné z}}+yz{\dfrac {\částečné ^{2}f_{0}}{\částečné y\částečné z}}+R_{2}(x,y,z).

Například v , $f(x,y,z)=e^{x+y+z}$

f(x,y,z)=1+x+y+z+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {y^{2}}{2}}+{ \frac {z^{2}}{2}}+xy+xz+yz+R_{2}(x,y,z).

Poznámky

↑ Taylor, Brook, Methodus Incrementorum Directa et Inversa [Přímé a obrácené metody inkrementace] (Londýn, 1715), strany 21–23 (Propozice VII, věta 3, důsledek 2). Přeloženo do angličtiny v DJ Struik, A Source Book in Mathematics 1200-1800 (Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press, 1969), strany 329-332.
↑ Gupta RC Série Madhava-Gregory, Math. Vzdělání 7 (1973), B67-B70.
↑ Záporožec G. I. "Příručka k řešení problémů v matematické analýze" - S. 371
↑ N.S. Piskunov. Diferenciální a integrální počet. - Mithril, 1996. - S. Svazek 1, kapitola 4, odstavec 6.
↑ N.S. Piskunov. Diferenciální a integrální počet pro technické školy. - třináctý. - MOSKVA "NAUKA", 1985. - S. Svazek 2, kapitola 16, odstavec 16.
↑ S hodnotou x blízkou 1 dává tento výpočetní vzorec velkou chybu. Proto můžete použít vzorec kde $\arcsin x = \arccos \sqrt{1-x^2},$ $\arccos x = {\pi\přes 2}-\arcsin x$

Literatura

Ilyin V. A., Sadovnichiy V. A., Sendov B. Kh. Matematická analýza, část 1, ed. 3, ed. A. N. Tichonov. M.: Prospekt, 2004.
Kamynin L. I. Matematická analýza. T. 1, 2. - 2001.
Kiselev V. Yu., Pyartli A. S., Kalugina T. F. Vyšší matematika. První semestr, Interaktivní počítačová učebnice.
Markushevich AI Teorie analytických funkcí. Ve 2 svazcích - Ed. 2. — M .: Nauka , 1967 . - svazek 1: Počátky teorie. — 486 s.
Narasimhan R. Analýza na skutečných a komplexních varietách. - za z angličtiny. E. M. Chirki. — M .: Mir , 1971 . — 232 s.
Petrova S. S., Romanovska D. A. K historii objevu Taylorovy řady. // Historický a matematický výzkum . - M . : Nauka , 1980. - č. 25 . - S. 10-24 .
Piskunov N. S. Diferenciální a integrální počet pro technické vysoké školy. Ve 2 svazcích - Ed. 13. - M .: Nauka, Hlavní vydání fyzikální a matematické literatury , 1985 . - T. 1. - 432 s.
Piskunov N. S. Diferenciální a integrální počet pro technické vysoké školy. Ve 2 svazcích - Ed. 13. - M .: Nauka, Hlavní vydání fyzikální a matematické literatury , 1985 . - T. 2. - 560 str.
Fikhtengol'ts G. M. Kurz diferenciálního a integrálního počtu. Ve 3 svazcích - Ed. 8. — M .: FIZMATLIT , 2003 . - T. I. - 680 s. — ISBN ISBN 5-9221-0156-0 .

Sekvence a řádky
Sekvence	Číselná posloupnost Základní posloupnost Lineární rekurentní sekvence Fibonacciho čísla složená čísla Faktorový Barkerova sekvence sekvence de bruijn
Řádky, základní	Součet řádků Zbytek řady Podmíněná konvergence Střídavé série Vícesekce řádků
Číselné řady ( operace s číselnými řadami )	harmonická řada série Leibniz Řada inverzních čtverců Série recipročních prvočísel Řada Dirichlet série Mercator Řada Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
funkční řádky	Taylorova řada série Laurent Fourierova řada Trigonometrické Fourierovy řady trigonometrická řada série Wiener
Jiné typy řádků	Neumannovy řady Řada Puiseux

Diferenciální počet

Hlavní

soukromé pohledy

Diferenční operátory
( v různých souřadnicích )

První objednávka	Operátor Nabla Spád Divergence Rotor Helmholtzian
druhá objednávka	Eliptický operátor Laplaceův operátor Laplaceův vektorový operátor Operátor D'Alembert Operátor Laplace-Beltrami
vyšší řády	Hypoeliptický operátor

související témata