Mergelyanova věta

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 15. prosince 2019; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Mergelyanova věta je tvrzení o možnosti jednotné aproximace pomocí polynomů funkcí komplexní proměnné ; založil sovětský matematik Sergei Mergelyan v roce 1951 .

Podle věty lze libovolnou spojitou funkci na kompaktní množině s připojeným doplňkem ke komplexní rovině (tj . připojenou), holomorfní ve vnitřních bodech , jednotně aproximovat polynomy . $f\colon K\to \mathbb {C}$ $K$ $\mathbb {C} \setminus K$ $K$

Věta je vývoj a zobecnění Weierstrassových a Rungeových teorémů a je široce používán v různých oblastech komplexní analýzy ; tento výsledek korunoval velkou sérii prací o teorii aproximace v komplexním případě. Zejména v roce 1936 Lavrentiev dokázal tvrzení pro případ, kdy nemá žádné vnitřní body, a v roce 1945 Keldysh stanovil výsledek pro případ, kdy je uzavřená doména s připojeným doplňkem. $K$ $K$

Metoda důkazu použitá Mergelyanem je konstruktivní a zůstává jediným známým konstruktivním důkazem výsledku.

Literatura

Mergelyanův teorém - článek z Encyklopedie matematiky . E. M. Chirka
S. N. Mergelyan. Uniformní aproximace funkcí komplexní proměnné // Uspekhi Mat. - T. 7 , č. 2 (48) . - S. 31-122 .
Lennart Carleson. Mergelyanova věta o jednotné polynomiální aproximaci // Math . Scand. - 1964. - Sv. 15 .
Dieter Gaier. Přednášky o komplexní aproximaci. - Boston: Birkhäuser, 1987. - ISBN 0-8176-3147-X .
W. Rudin. Reálná a komplexní analýza. N.Y .: McGraw - Hill. — ISBN 0-07-054234-1 .
A. G. Vitushkin . Analytická kapacita množin v úlohách teorie aproximace // Uspekhi Mat . - 1967. - T. 22 , č. 6 (138) .
A. G. Vitushkin. Půl století jako jeden den // UMN. - 2002. - T. 57 , č. 1 (353) .