Mittagova-Lefflerova věta

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 15. března 2015; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Mittag -Lefflerova věta o rozkladu meromorfní funkce je jednou z hlavních vět v teorii analytických funkcí, která pro meromorfní funkce dává analogii rozkladu racionální funkce na jednoduché zlomky.

Věta

Nechť meromorfní funkce má póly s hlavními částmi v bodech a nechť jsou segmenty Taylorových expanzí v mocninách . Pak existuje posloupnost celých čísel a celá funkce taková, že pro všechny existuje rozklad , který konverguje absolutně a rovnoměrně v libovolném konečném kruhu . $f(z)$ $z=a_{k},|a_{1}|\leqslant |a_{2}|\leqslant \ldots \leqslant |a_{k}|\leqslant \ldots$ $g_{k}({\frac {1}{z-a_{k))})=G_{k}(z)$ $h_{k}^{(p)}=G_{k}(0)+G_{k}^{1}(0)z+\ldots +{\frac {G_{k}^{(p) }(0)}{p!}}z^{p}$ $g_{k}\left({\frac {1}{z-a_{k))}\right)$ $z$ $p_{{k}}$ $f_{{0}}(z)$ $z\neq a_{{k}}$ $f(z)=f_{0}(z)+\součet _{k=1}^{\infty }\left\{g_{k}\left({\frac {1}{z-a_ {k}}}\right)-h_{k}^{p_{k}}(z)\right\}$ $|z|\leqslant A$

Důsledek

Nějaká meromorfní funkce může být reprezentována jako součet řady , kde je celá funkce, jsou hlavní části Laurentových expanzí na pólech , číslované ve vzestupném pořadí jejich modulů a jsou to některé polynomy. $f(z)$ $f(z)=h(z)+\součet _{{n=0}}^{\infty }\left(g_{n}(z)-P_{n}(z)\right)$ $h$ $g_{n}$ $f(z)$ $P_{n}$

Literatura

Fuchs B. A. , Shabat B. V. Funkce komplexní proměnné a některé jejich aplikace. - M.: Nauka, 1964. - S. 313