Moriho teorém

Morrieho zákon je náhodný název pro následující trigonometrickou identitu

\cos(20^{\circ })\cdot \cos(40^{\circ })\cdot \cos(80^{\circ })={\frac {1}{8)).

Toto je zvláštní případ obecnější identity

2^{n}\cdot \prod _{{k=0}}^{{n-1}}\cos(2^{k}\alpha )={\frac {\sin(2^{n}\ alfa )}{\sin(\alpha )))

při n = 3 a a = 20°. „Moriho teorém“ dostal své jméno od Richarda Feynmana , který tuto identitu používal pod tímto jménem. Feynman používal toto jméno, protože jako dítě se naučil specifikovanou identitu od chlapce jménem Maury Jacobs a následně si větu pamatoval po zbytek svého života pod tímto jménem. [jeden]

Podobný vztah pro sinus také platí:

\sin(20^{\circ })\cdot \sin(40^{\circ })\cdot \sin(80^{\circ })={\frac {\sqrt {3}}{8 }}

.

Navíc, když vydělíme druhou identitu první, získáme identitu pro tečnu:

\operatorname {tg} (20^{\circ })\cdot \operatorname {tg} (40^{\circ })\cdot \operatorname {tg} (80^{\circ })={\sqrt {3}}=\jméno operátora {tg} (60^{\circ }).

Důkaz

Použijeme známý vzorec pro sinus dvojitého úhlu

\sin(2\alpha )=2\sin(\alpha )\cos(\alpha ).

Vyjádřeno odtud , dostáváme $\cos(\alpha)$

\cos(\alpha )={\frac {\sin(2\alpha)}{2\sin(\alpha))).

Pak máme

{\begin{aligned}\cos(2\alpha )&={\frac {\sin(4\alpha )}{2\sin(2\alpha )))\\[6pt]\cos(4\alpha) &={\frac {\sin(8\alpha )}{2\sin(4\alpha )}}\\&{}\,\,\,\vdots \\\cos(2^{{n-1 }}\alpha )&={\frac {\sin(2^{{n}}\alpha )}{2\sin(2^{{n-1}}\alpha ))).\end{aligned} }

Vynásobením levých částí těchto rovností na sebe a pravých částí - na sobě, získáme:

\cos(\alpha )\cos(2\alpha )\cos(4\alpha )\cdots \cos(2^{{n-1}}\alpha )={\frac {\sin(2\alpha )} {2\sin(\alpha )}}\cdot {\frac {\sin(4\alpha )}{2\sin(2\alpha )))\cdot {\frac {\sin(8\alpha )}{ 2\sin(4\alpha )}}\cdots {\frac {\sin(2^{{n}}\alpha )}{2\sin(2^{{n-1}}\alpha ))).

Po zmenšení zlomků bude sinus z posledního čitatele a sinus z prvního jmenovatele a také 2 na mocninu n ve jmenovateli:

\prod _{{k=0}}^{{n-1}}\cos(2^{k}\alpha )={\frac {\sin(2^{n}\alpha )}{2^{ n}\sin(\alpha )}},

Tato identita je obecnou formou Moriho teorému.

Poznámky

↑ W. A. Beyer, J. D. Louck a D. Zeilberger , Zobecnění kuriozity, kterou si Feynman pamatoval celý život , Math. Mag. 69, 43-44, 1996.

Odkazy

Weisstein, Eric W. Morrie's Law (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .