Mooreův podílový prostorový teorém

Mooreova věta o podílovém prostoru, klasické tvrzení o dvourozměrné topologii, dává dostatečnou podmínku, že podílový prostor koule je homeomorfní k dvourozměrné kouli.

Ověřeno Robertem Moorem v roce 1925 .

Formulace

Nechť je surjektivní spojité zobrazení dvourozměrné koule na Hausdorffův prostor . Předpokládejme, že pro jakýkoli bod jsou předobraz , stejně jako jeho doplněk, spojeny . Pak je homeomorfní , navíc zobrazení je limitem homeomorfismů . $f\colon \mathbb {S} ^{2}\to X$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2))$ $X$ $x\in X$ ${\displaystyle f^{-1}\{x\))$ $\mathbb {S} ^{2}\zpětné lomítko f^{-1}\{x\}$ $X$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2))$ $f\colon \mathbb {S} ^{2}\to X$ $f_{n}\colon \mathbb {S} ^{2}\to X$

Poznámky

Ekvivalentní formulace věty je uvedena v jazyce vztahu ekvivalence na . Mapování definuje vztah ekvivalence na , definovaný jako ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2))$ $f\colon \mathbb {S} ^{2}\to X$ $\sim$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2))$

x\sim y\iff f(x)=f(y).

Třídy ekvivalence tvoří semispojitou rodinu uzavřených množin. To znamená, že pokud , a pro jakýkoli , pak . ${\displaystyle [x]=\{\,y\in \mathbb {S} ^{2}\mid x\sim y\,\))$ $x_{n}\to x$ $y_{n}\to y$ ${\displaystyle x_{n}\sim y_{n))$ $n$ $x\sim y$

Jestliže je vztah ekvivalence na s polospojitými uzavřenými třídami ekvivalence takový a pro jakoukoli množinu a jsou spojeny , pak je kvocientový prostor homeomorfní . $\sim$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2))$ $X$ $[X]$ $\mathbb {S} ^{2}\zpětné lomítko [x]$ $\mathbb {S} ^{2}/\sim$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2))$

Variace a zobecnění

Ve vyšších dimenzích nezbytných pro existenci blízkého homeomorfismu musí být surjekce z manifoldu do Hausdorffova prostoru buněčná . To znamená, že pro jakýkoli bod a libovolnou otevřenou množinu obsahující pre-image , lze najít uzavřenou množinu , homeomorfní ke kouli, například . $f\colon M\to X$ $M$ $X$ $x\in X$ $U$ ${\displaystyle f^{-1}\{x\))$ $B$ $f^{-1}\{x\}\subset B\subset U$

Literatura

RL Moore. O horních-semikontinuálních kolekcích continua (anglicky) // Přel. amer. Matematika. Soc.. - 1925. - Sv. 25 . — S. 416–428 .
Daverman, Robert J. Decompositions of manifolds. - Orlando, FL: Academic Press, Inc., 1986. - xii + 317 s. — (Čistá a aplikovaná matematika, 124). - ISBN 978-0-8218-4372-7 .