Pappusova věta

Pappusův teorém je klasický teorém v projektivní geometrii .

Formulace

Nechť A , B , C jsou tři body na jedné přímce, A' , B' , C' tři body na další přímce. Nechť tři přímky AB' , BC' , CA' protínají tři přímky A'B , B'C , C'A v bodech X , Y , Z . Potom body X , Y , Z leží na stejné přímce.

Poznámky

Duální formulace Pappusovy věty je pouze přeformulováním věty samotné:

Nechme přímky procházet bodem A, procházet bodem A'. protíná a v bodech B a C, protíná se v bodech C' a Z a protíná se v bodech B' a X. Potom se přímky BC', B'C a XZ protínají v jednom bodě (bod Y na výkrese) nebo jsou rovnoběžné . $a_{1},a_{2},a_{3}$ $a_{1}',a_{2}',a_{3}'$ $a_{1}$ $a_{2}'$ $a_{3}'$ $a_{2}$ $a_{1}'$ $a_{3}'$ $a_{3}$ $a_{1}'$ $a_{2}'$

Historie

Formulace a důkaz tohoto teorému jsou obsaženy v Mathematical Collection od Pappa Alexandrijského (začátek 4. století našeho letopočtu). V moderní době teorém publikoval v roce 1566 vydavatel a komentátor Pappusových děl Federico Commandino .

Důkazy

Důkaz vymazáním bodů do nekonečna

Nechť bod je průsečík přímek, na kterých leží body , , a , . $Ó$ $A$ $B$ $C$ $A'$ $B'$ $C'$

Zvažte průsečíky čar:

$AB'\cap A'B=X$

$AC'\cap A'C=Y$

$CB'\cap C'B=Z$

Nyní použijeme projektivní zobrazení, které vede přímku do nekonečna. $XY$

Od : , : . Teď to musíme dokázat . $X=\infty$ $AB'\parallel A'B$ $Y=\infty$ $AC'\parallel A'C$ $BC'\parallel B'C$

Zvažte podobné trojúhelníky.

$\bigtriangleup OAC'\sim \ \bigtriangleup OCA'\Rightarrow {\frac {OC}{OA'}}={\frac {OA}{OC'}}\Rightarrow OA\cdot OA'=OC\cdot OC'$

$\bigtriangleup OAB'\sim \ \bigtriangleup OBA'\Rightarrow {\frac {OB}{OA'}}={\frac {OA}{OB'}}\Rightarrow OA\cdot OA'=OB\cdot OB'$

Z toho vyplývá, že (podle druhého kritéria podobnosti trojúhelníků ) . ${\frac {OB}{OC}}={\frac {OB'}{OC'}}\Rightarrow \bigtriangleup OCB'\sim \bigtriangleup OBC'$ $\Rightarrow BC'\parallel B'C$

Q.E.D.

Důkaz přes Menelaovu větu

Aplikováním na trojúhelníky a Menelaovu větu můžete toto tvrzení také dokázat. $\bigtriangleup AXB$ $\bigtriangleup AYC$ $\bigtriangleup BZC$

Variace a zobecnění

Pappusův teorém je zvrhlý případ v Pascalově teorému : jestliže jeden nahradí šestiúhelník vepsaný do kuželosečky jedním vepsaným do dvojice protínajících se čar v Pascalově teorému, pak se stane ekvivalentní Pappusově teorému. Sám Pascal považoval dvojici přímek za kuželosečku (tedy Pappusovu větu považoval za speciální případ své věty).

Duální formulace je zdegenerovaný případ Brianchonovy věty .

Viz také

Pappusova oblastní věta

Literatura

R. Courant, G. Robbins, Co je matematika? Kapitola IV, § 5.3.