Pestov-Ioninův teorém

Pestov-Ionin teorém je klasický teorém v diferenciální geometrii rovinných křivek , zobecnění čtyři-teorém vrcholu .

Větu formuloval Abram Iljič Fet , dokázal ji German Gavrilovič Pestov , její důkaz výrazně zjednodušil Vladimir Kuzmich Ionin [1] . U konvexních křivek byl výsledek znám mnohem dříve. [2]

Formulace

Jakákoli oblast roviny ohraničená hladkou uzavřenou křivkou se zakřivením nejvýše 1 obsahuje kružnici o poloměru 1.

Variace a zobecnění

• Silnější tvrzení vyplývá z důkazu Pestova a Ionina: pro každou jednoduchou hladkou uzavřenou pravidelnou křivku v rovině existují dva body, tečna kružnice je obsažena v uzavřené oblasti uvnitř křivky; existují také dva body, tečna kružnice, ve které je obsažena ve vnější uzavřené oblasti křivky.
  • Body ve kterých se dotýkající se kružnice nachází na jedné straně křivky jsou vrcholy křivky , což znamená, že výše uvedené tvrzení je posílením věty o čtyřech vrcholech . [3]

• Podobný výsledek v prostoru není pravdivý, totiž existují vnoření koule s hlavními zakřiveními nepřesahujícími 1 v absolutní hodnotě, takže oblast jí ohraničená neobsahuje kouli o poloměru 1. [4]

Poznámky

1. ↑ Pestov, G. G., Ionin V. K. Na největším kruhu zasazeném do uzavřené křivky // ​​Zprávy Akademie věd SSSR . - 1959. - T. 127 , č. 6 .
2. ↑ Wilhelm Blaschke Kreis und Kugel, Leipzig, Veit 1916, 3. Auflage, Berlín, de Gruyter 1956; Ruský překlad Kruh a koule , M .: Nauka, 1967, kapitola IV §24.
3. ↑ A. Petrunin, S. Zamora Barrera. Měsíc v louži a věta o čtyřech vrcholech  (anglicky)  // Amer. Matematika. Měsíční. - 2022. - Sv. 129 , č. 5 . Archivováno z originálu 28. června 2022.
4. ↑ V. N. Lagunov. „Na největší kouli zapuštěné v uzavřeném povrchu, II“. Siberian Mathematical Journal 2.6 (1961), s. 874-883.