Ukazovací teorém

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 24. března 2018; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Poyntingův teorém je teorém popisující zákon zachování energie v elektromagnetickém poli . Věta byla prokázána v roce 1884 Johnem Henrym Poyntingem . Vše se scvrkává na následující vzorec:

{\frac {\partial u}{\partial t))+\nabla \cdot \mathbf {S} =-\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} ,

kde je hustota energie : ; $u$ $u={\frac {1}{2}}\left(\varepsilon _{0}\mathbf {E} ^{2}+{\frac {\mathbf {B} ^{2}}{\ mu _{0}}}\right)$

\varepsilon_{0}

- elektrická konstanta , - magnetická konstanta ;

\mu_{0}

\nabla

— operátor nabla ; S je Poyntingův vektor ; J je proudová hustota a E je intenzita elektrického pole .

Pointingova věta v integrálním tvaru:

{\frac {\partial }{\partial t))\int _{V}u\ dV+\oint _({\partial V)){\mathbf {S))\ d{\mathbf {A))=- \int _{V}{\mathbf {J}}\cdot {\mathbf {E}}\ dV

kde je povrch ohraničující objem . $\částečné V$ $PROTI$

V technické literatuře se věta obvykle píše takto ( - energetické hustoty): $u$

\nabla \cdot {\mathbf {S}}+\varepsilon _{0}{\mathbf {E}}\cdot {\frac {\částečné {\mathbf {E}}}{\částečné t}}+{\ frac {{\mathbf {B}}}{\mu _{0}}}\cdot {\frac {\partial {\mathbf {B}}}{\partial t}}+{\mathbf {J}}\ cdot {\mathbf {E}}=0

kde je hustota energie elektrického pole, je hustota energie magnetického pole a je síla ztrát Joule na jednotku objemu. $\varepsilon _{0}{\mathbf {E}}\cdot {\frac {\partial {\mathbf {E}}}{\partial t}}$ ${\frac {{\mathbf {B}}}{\mu _{0}}}\cdot {\frac {\partial {\mathbf {B}}}{\partial t}}$ ${\mathbf {J}}\cdot {\mathbf {E}}$

Závěr

Větu lze odvodit pomocí dvou Maxwellových rovnic (pro zjednodušení předpokládáme, že prostředím je vakuum (μ=1, ε=1), pro obecný případ s libovolným prostředím je nutné každé přiřadit ε a μ ε 0 a μ 0 ve vzorcích) :

\nabla \times {\mathbf {E}}=-{\frac {\partial {\mathbf {B}}}{\partial t}}.

Vynásobením obou stran rovnice dostaneme: $\mathbf {B}$

{\mathbf {B}}\cdot (\nabla \times {\mathbf {E}})=-{\mathbf {B}}\cdot {\frac {\partial {\mathbf {B}}}{\partial t}}.

Nejprve zvažte Maxwellovu-Ampérovu rovnici:

\nabla \times {\mathbf {B}}=\mu _{0}{\mathbf {J}}+\varepsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial {\mathbf {E} }}{\částečné t}}.

Vynásobením obou stran rovnice dostaneme: $\mathbf {E}$

{\mathbf {E}}\cdot (\nabla \times {\mathbf {B}})={\mathbf {E}}\cdot \mu _{0}{\mathbf {J}}+{\mathbf { E}}\cdot \varepsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial {\mathbf {E}}}{\partial t}}.

Odečtením prvního od druhého dostaneme:

{\mathbf {E}}\cdot (\nabla \times {\mathbf {B}})-{\mathbf {B}}\cdot (\nabla \times {\mathbf {E}})=\mu _{ 0}{\mathbf {E}}\cdot {\mathbf {J}}+\varepsilon _{0}\mu _{0}{\mathbf {E}}\cdot {\frac {\partial {\mathbf { E}}}{\partial t}}+{\mathbf {B}}\cdot {\frac {\partial {\mathbf {B}}}{\partial t}}.

Konečně:

-\nabla \cdot \ (\mathbf {E} \times \mathbf {B} )=\mu _{0}\mathbf {E} \cdot \mathbf {J} +\varepsilon _{0}\ mu _{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t))+\mathbf {B} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} } {\částečné t)).

Protože Poyntingův vektor je definován jako: $\mathbf {S}$

{\mathbf {S}}={\frac {1}{\mu _{0}}}{\mathbf {E}}\times {\mathbf {B}}

toto je ekvivalentní:

\nabla \cdot {\mathbf {S}}+\varepsilon _{0}{\mathbf {E}}\cdot {\frac {\částečné {\mathbf {E}}}{\částečné t}}+{\ frac {{\mathbf {B}}}{\mu _{0}}}\cdot {\frac {\partial {\mathbf {B}}}{\partial t}}+{\mathbf {J}}\ cdot {\mathbf {E}}=0.

Generalizace

Mechanická energie výše uvedené věty

{\frac {\partial }{\partial t))u_{m}({\mathbf {r)),t)+\nabla \cdot {\mathbf {S))_{m}({\mathbf {r ) )),t)={\mathbf {J}}({\mathbf {r}},t)\cdot {\mathbf {E}}({\mathbf {r}},t),

kde u_m je kinetická energie hustoty v systému. Lze ji popsat jako součet kinetické energie částic α

u_{m}({\mathbf {r}},t)=\sum _({\alpha }}{\frac {m_{{\alpha }}}{2}}{\tečka {r}}_{ {\alpha }}^{2}\delta ({\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}_{{\alpha }}(t)),

${\mathbf {S_{m))}$ - tok energie nebo "mechanický Poyntingův vektor":

{\mathbf {S}}_{m}({\mathbf {r}},t)=\sum _({\alpha }}{\frac {m_{{\alpha }}}{2}}{\ tečka {r}}_{{\alpha }}^{2}{\tečka {{\mathbf {r}}}}_{{\alpha }}\delta ({\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}_{{\alpha }}(t)).

Rovnice energetické kontinuity nebo zákon zachování energie

{\frac {\partial }{\partial t}}\left(u_{e}+u_{m}\right)+\nabla \cdot \left({\mathbf {S}}_{e}+{\ mathbf {S}}_{m}\right)=0,

Alternativní formuláře

Lze získat i jiné formy Poyntingova teorému. Namísto použití vektoru toku lze zvolit formu Abraham, Minkowski nebo jinou. ${\mathbf {S}}\propto {\mathbf {E}}\times {\mathbf {B}}$ ${\mathbf {E}}\times {\mathbf {H}}$ ${\mathbf {D}}\times {\mathbf {B}}$