Poissonova věta

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 26. července 2022; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Poissonův teorém je teorém v teorii pravděpodobnosti .

Formulace

Nechť existuje posloupnost série Bernoulliho pokusů , kde je pravděpodobnost „úspěchu“, je počet „úspěchů“. $p_n$ $\mu _{n}$

Pak pokud

$\lim _{{n\to \infty }}np_{n}=\lambda ;$
$\lambda >0,$

pak

\lim _{{n\to \infty }}P(\omega :\mu _{n}(\omega )=m)=e^{{-\lambda }}{\cfrac {\lambda ^{m} }{m!}}.

Důkaz

Pomocí Bernoulliho vzorce to dostaneme

\lim _{{n\to \infty }}P(\omega :\mu _{n}(\omega )=m)=C_{n}^{m}(p_{n})^{m}( 1-p_{n})^{{nm}}={\cfrac {n!}{m!(nm)!}}{\bigg (}{\cfrac {\lambda }{n}}+o{\ bigg (}{\cfrac {\lambda }{n}}{\bigg )}{\bigg )}^{m}{\bigg (}1-{\cfrac {\lambda }{n}}-o{\ bigg (}{\cfrac {\lambda }{n}}{\bigg )}{\bigg )}^{{nm}}=

={\cfrac {1}{m!)}}{\cfrac {(n-m+1)(n-m+2)\ldots n}{n^{m))}{\bigg (}\lambda + o{\bigg (}\lambda {\bigg )}{\bigg )}^{m}{\bigg (}1-{\cfrac {\lambda }{n))-o{\bigg (}{\ cfrac {\lambda }{n}}{\bigg )}{\bigg )}^{{nm)),

protože

\lim _{{n\to \infty }}np_{n}=\lambda \;\Šipka doleva \;p_{n}={\cfrac {\lambda }{n}}+o{\bigg (}{\ cfrac {\lambda }{n}}{\bigg )}

\lim _{{n\to \infty }}{\cfrac {o{\bigg (}{\cfrac {\lambda }{n}}{\bigg ))){{\cfrac {\lambda }{n} }}}=0.

Ale od

$\lim _{{n\to \infty }}{\cfrac {(n-m+1)(n-m+2)\ldots n}{n^{m}}}={\bigg (}\lim _{{n\to \infty }}{\cfrac {(n-m+1)}{n}}{\bigg )}\cdot {\bigg (}\lim _{{n\to \infty }} {\cfrac {(n-m+2)}{n}}{\bigg )}\cdot \ldots \cdot {\bigg (}\lim _{{n\to \infty }}{\cfrac {(n )}{n}}{\bigg )}=1;$
$\lim _{{n\to \infty }}(\lambda +o(\lambda ))^{m}=\lambda ^{m};$
$\lim _{{n\to \infty }}{\bigg (}1-{\cfrac {\lambda }{n}}-o{\bigg (}{\cfrac {\lambda }{n}}{\ bigg )}{\bigg )}^{{nm}}=e^{{-\lambda }},$

pak se výsledná rovnost stává

\lim _{{n\to \infty }}P(\omega :\mu _{n}(\omega )=m)=e^{{-\lambda }}{\cfrac {\lambda ^{m} }{m!}}.

QED